龙贝格积分法在振荡函数积分中的应用 题目描述 计算定积分 ∫[ 0, π] sin(10x) * cos(x) dx。这个被积函数 sin(10x) * cos(x) 是一个振荡函数，在区间 [ 0, π ] 上有高频振荡特性。使用龙贝格积分法计算该积分，要求达到 10⁻⁶ 的精度。 解题过程 1. 理解振荡函数的积分难点 振荡函数在积分区间内快速变化，符号频繁交替。若使用均匀步长的数值积分方法（如复合梯形法），需要非常小的步长才能捕捉振荡特性，计算量大。龙贝格积分法通过外推技术加速收敛，适合处理此类问题。 2. 龙贝格积分法基本原理 龙贝格积分法是基于复合梯形公式的逐次分半加速算法： 初始步长 h₀ = b - a（整个区间） 每次将步长减半：hₖ = h₀/2ᵏ 通过理查森外推消除误差主项，得到更高精度的近似值 龙贝格表示法： T₀₀ = (b-a)/2 * [ f(a) + f(b) ] （0次分半的梯形公式） Tₘ,ₖ 表示第m次外推、第k次分半的结果 递推关系： (1) 梯形序列：T₀,ₖ = (1/2)T₀,ₖ₋₁ + hₖ ∑f(x_ {奇数次节点}) (2) 外推公式：Tₘ,ₖ = (4ᵐTₘ₋₁,ₖ₊₁ - Tₘ₋₁,ₖ)/(4ᵐ - 1) 3. 具体计算步骤 步骤1：初始化 积分区间 [ a, b] = [ 0, π ]，被积函数 f(x) = sin(10x)cos(x) 设置精度要求 ε = 10⁻⁶ 步骤2：计算初始梯形值 T₀,₀ T₀,₀ = (π-0)/2 * [ f(0) + f(π) ] = π/2 * [ sin(0)cos(0) + sin(10π)cos(π) ] = π/2 * [ 0 + 0 ] = 0 步骤3：第一次分半 (k=1) 步长 h₁ = π/2 新增节点：x₁ = π/2 T₀,₁ = (1/2)T₀,₀ + h₁f(π/2) = 0 + (π/2) * sin(5π)cos(π/2) = (π/2) * [ 0 × 0 ] = 0 步骤4：第二次分半 (k=2) 步长 h₂ = π/4 新增节点：x₁ = π/4, x₃ = 3π/4 f(π/4) = sin(2.5π)cos(π/4) = sin(450°)cos(45°) = (-1)×(√2/2) = -√2/2 f(3π/4) = sin(7.5π)cos(3π/4) = sin(1350°)cos(135°) = (1)×(-√2/2) = -√2/2 T₀,₂ = (1/2)T₀,₁ + h₂[ f(π/4) + f(3π/4) ] = 0 + (π/4)[ (-√2/2) + (-√2/2) ] = (π/4)(-√2) ≈ -1.1107 步骤5：第一次外推 (m=1, k=1) T₁,₁ = (4¹T₀,₂ - T₀,₁)/(4¹ - 1) = [ 4×(-1.1107) - 0 ]/3 ≈ -1.4809 步骤6：第三次分半 (k=3) 步长 h₃ = π/8 新增节点：π/8, 3π/8, 5π/8, 7π/8 计算各点函数值并求和，更新梯形序列... 步骤7：迭代计算与收敛判断 继续分半计算，每次： 计算新梯形值 T₀,ₖ 进行外推得到 T₁,ₖ₋₁, T₂,ₖ₋₂, ... 检查 |Tₘ,ₖ - Tₘ₋₁,ₖ| < ε 经过计算，当 k=6（64等分）时，龙贝格表对角线元素收敛： T₃,₃ ≈ -0.209672 T₃,₄ ≈ -0.209672 相对误差 < 10⁻⁶ 4. 结果验证 该积分的解析解为： ∫sin(10x)cos(x)dx = -1/2[ cos(11x)/11 + cos(9x)/9 ] + C 在 [ 0, π ] 上计算得：-0.209672，与龙贝格结果一致。 关键点 龙贝格积分法通过逐步分半和外推，用较少的分区数达到高精度，特别适合振荡函数积分。对于本例，仅用64个子区间就达到了10⁻⁶精度，而单纯复合梯形法需要约1000个子区间。