高斯-勒让德求积公式在带权函数积分中的变换技巧

字数 2384 2025-11-02 00:38:37

高斯-勒让德求积公式在带权函数积分中的变换技巧

题目描述
高斯-勒让德求积公式适用于计算区间 \([-1, 1]\) 上非带权函数的积分，形式为：

\[\int_{-1}^{1} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i), \]

其中 \(x_i\) 和 \(w_i\) 是勒让德多项式的节点和权重。但若需计算带权函数积分，例如：

\[\int_{a}^{b} \rho(x) f(x) \, dx, \]

其中 \(\rho(x)\) 是权函数（如 \(e^{-x}\)、\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 等），需通过变量变换将积分区间和权函数适配到标准高斯求积公式的适用范围。本题要求详细讲解如何通过变换技巧，将一般带权积分转化为高斯-勒让德公式可处理的问题。

解题过程

步骤1：分析积分类型与权函数

若权函数 \(\rho(x)\) 是高斯求积公式的标准权函数（如勒让德权函数 \(\rho(x)=1\)、拉盖尔权函数 \(\rho(x)=e^{-x}\) 等），应直接选用对应的高斯公式（如高斯-拉盖尔公式适用于 \([0, \infty)\) 上的 \(e^{-x}f(x)\) 积分）。
若权函数非标准，但积分区间为有限区间 \([a, b]\)，可通过变量变换将区间变为 \([-1, 1]\)，同时将权函数部分吸收到被积函数中。

步骤2：区间变换与权函数处理

区间变换：通过线性变换将积分区间 \([a, b]\) 映射到 \([-1, 1]\)。令：

\[ x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}, \quad dx = \frac{b-a}{2} dt. \]

原积分变为：

\[ \int_{a}^{b} \rho(x) f(x) \, dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} \rho\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right) f\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right) dt. \]

权函数分离：
- 若权函数 \(\rho(x)\) 在变换后仍无法直接对应标准权函数，需定义新函数：

\[ g(t) = \rho\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right) f\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right). \]

 此时积分化为：

\[ \frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} g(t) \, dt. \]

此形式可直接应用高斯-勒让德公式（因权函数已隐含在 \(g(t)\) 中）：

\[ \int_{a}^{b} \rho(x) f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i^{\text{Leg}} g(t_i), \]

 其中 $w_i^{\text{Leg}}$ 和 $t_i$ 是勒让德公式的权重和节点。

步骤3：处理奇异权函数的技巧
若权函数在区间端点奇异（如 \(\rho(x) = (x-a)^\alpha (b-x)^\beta\)），需通过变量变换将奇异性消除：

令 \(x = a + (b-a) \frac{1+s}{2}\)，将区间变为 \([-1, 1]\)。
权函数部分变为 \((b-a)^{\alpha+\beta} \left( \frac{1+s}{2} \right)^\alpha \left( \frac{1-s}{2} \right)^\beta\)，与 \(f(x)\) 结合为新被积函数。
若 \(\alpha, \beta > -1\)，可直接用高斯-勒让德公式计算，但需注意节点密度需足够以捕捉奇异性。
更精确的方法是使用对应权函数的高斯-雅可比公式（节点基于雅可比多项式），但若仅用勒让德公式，需增加节点数以提高精度。

步骤4：误差控制与节点选择

高斯-勒让德公式的误差依赖于被积函数的光滑性。若权函数导致 \(g(t)\) 在区间端点不可导，误差可能增大。
建议通过增加节点数 \(n\) 并观察积分值变化来验证收敛性。若变化小于容忍误差，则停止。

示例
计算带权积分：

\[I = \int_{0}^{2} e^{-x} \sin(x) \, dx. \]

区间 \([0, 2]\) 变换到 \([-1, 1]\)：令 \(x = t + 1\)（即 \(x = \frac{2-0}{2}t + \frac{0+2}{2} = t+1\)），则 \(dx = dt\)。
积分变为：

\[ I = \int_{-1}^{1} e^{-(t+1)} \sin(t+1) \, dt = e^{-1} \int_{-1}^{1} e^{-t} \sin(t+1) \, dt. \]

定义 \(g(t) = e^{-t} \sin(t+1)\)，则：

\[ I \approx e^{-1} \cdot \frac{2}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i^{\text{Leg}} g(t_i) = e^{-1} \sum_{i=1}^{n} w_i^{\text{Leg}} e^{-t_i} \sin(t_i+1). \]

取 \(n=3\) 的高斯-勒让德节点和权重（查表可得）计算近似值。

通过以上变换，将带权积分转化为标准高斯-勒让德公式可处理的形式，兼顾通用性与精度。

高斯-勒让德求积公式在带权函数积分中的变换技巧题目描述高斯-勒让德求积公式适用于计算区间 \([ -1, 1 ]\) 上非带权函数的积分，形式为： \[ \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i), \] 其中 \(x_ i\) 和 \(w_ i\) 是勒让德多项式的节点和权重。但若需计算带权函数积分，例如： \[ \int_ {a}^{b} \rho(x) f(x) \, dx, \] 其中 \(\rho(x)\) 是权函数（如 \(e^{-x}\)、\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 等），需通过变量变换将积分区间和权函数适配到标准高斯求积公式的适用范围。本题要求详细讲解如何通过变换技巧，将一般带权积分转化为高斯-勒让德公式可处理的问题。解题过程步骤1：分析积分类型与权函数若权函数 \(\rho(x)\) 是高斯求积公式的标准权函数（如勒让德权函数 \(\rho(x)=1\)、拉盖尔权函数 \(\rho(x)=e^{-x}\) 等），应直接选用对应的高斯公式（如高斯-拉盖尔公式适用于 \( [ 0, \infty)\) 上的 \(e^{-x}f(x)\) 积分）。若权函数非标准，但积分区间为有限区间 \([ a, b]\)，可通过变量变换将区间变为 \([ -1, 1 ]\)，同时将权函数部分吸收到被积函数中。步骤2：区间变换与权函数处理区间变换：通过线性变换将积分区间 \([ a, b]\) 映射到 \([ -1, 1 ]\)。令： \[ x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}, \quad dx = \frac{b-a}{2} dt. \] 原积分变为： \[ \int_ {a}^{b} \rho(x) f(x) \, dx = \frac{b-a}{2} \int_ {-1}^{1} \rho\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right) f\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right) dt. \] 权函数分离：若权函数 \(\rho(x)\) 在变换后仍无法直接对应标准权函数，需定义新函数： \[ g(t) = \rho\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right) f\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right). \] 此时积分化为： \[ \frac{b-a}{2} \int_ {-1}^{1} g(t) \, dt. \] 此形式可直接应用高斯-勒让德公式（因权函数已隐含在 \(g(t)\) 中）： \[ \int_ {a}^{b} \rho(x) f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_ {i=1}^{n} w_ i^{\text{Leg}} g(t_ i), \] 其中 \(w_ i^{\text{Leg}}\) 和 \(t_ i\) 是勒让德公式的权重和节点。步骤3：处理奇异权函数的技巧若权函数在区间端点奇异（如 \(\rho(x) = (x-a)^\alpha (b-x)^\beta\)），需通过变量变换将奇异性消除：令 \(x = a + (b-a) \frac{1+s}{2}\)，将区间变为 \([ -1, 1 ]\)。权函数部分变为 \((b-a)^{\alpha+\beta} \left( \frac{1+s}{2} \right)^\alpha \left( \frac{1-s}{2} \right)^\beta\)，与 \(f(x)\) 结合为新被积函数。若 \(\alpha, \beta > -1\)，可直接用高斯-勒让德公式计算，但需注意节点密度需足够以捕捉奇异性。更精确的方法是使用对应权函数的高斯-雅可比公式（节点基于雅可比多项式），但若仅用勒让德公式，需增加节点数以提高精度。步骤4：误差控制与节点选择高斯-勒让德公式的误差依赖于被积函数的光滑性。若权函数导致 \(g(t)\) 在区间端点不可导，误差可能增大。建议通过增加节点数 \(n\) 并观察积分值变化来验证收敛性。若变化小于容忍误差，则停止。示例计算带权积分： \[ I = \int_ {0}^{2} e^{-x} \sin(x) \, dx. \] 区间 \([ 0, 2]\) 变换到 \([ -1, 1 ]\)：令 \(x = t + 1\)（即 \(x = \frac{2-0}{2}t + \frac{0+2}{2} = t+1\)），则 \(dx = dt\)。积分变为： \[ I = \int_ {-1}^{1} e^{-(t+1)} \sin(t+1) \, dt = e^{-1} \int_ {-1}^{1} e^{-t} \sin(t+1) \, dt. \] 定义 \(g(t) = e^{-t} \sin(t+1)\)，则： \[ I \approx e^{-1} \cdot \frac{2}{2} \sum_ {i=1}^{n} w_ i^{\text{Leg}} g(t_ i) = e^{-1} \sum_ {i=1}^{n} w_ i^{\text{Leg}} e^{-t_ i} \sin(t_ i+1). \] 取 \(n=3\) 的高斯-勒让德节点和权重（查表可得）计算近似值。通过以上变换，将带权积分转化为标准高斯-勒让德公式可处理的形式，兼顾通用性与精度。