K-均值聚类（K-means Clustering）算法的原理与实现步骤 题目描述 K-均值聚类是一种无监督学习算法，用于将数据集划分为K个互不重叠的簇。其目标是最小化簇内样本的平方误差和（SSE），即让同一簇内的样本尽可能相似，不同簇的样本尽可能不同。假设有一个包含N个数据点的数据集，需要将其划分为K个簇（K需预先指定），每个簇由其质心（簇内样本的均值向量）表示。 解题过程 步骤1：初始化质心 随机选择K个数据点作为初始质心（簇中心）。例如，若K=3，则从数据集中随机选取3个点作为质心。 注意：初始质心的选择可能影响最终结果，通常采用多次随机初始化以规避局部最优。 步骤2：分配样本到最近质心 遍历每个样本点，计算其与所有质心的欧氏距离（或其他距离度量）。 将样本分配给距离最近的质心所在的簇。 欧氏距离公式：对于样本点 \( x_ i \) 和质心 \( \mu_ j \)，距离为 \( d_ {ij} = \| x_ i - \mu_ j \| \)。 完成后，所有样本被划分到K个簇中，形成初始聚类结果。 步骤3：重新计算质心 对每个簇，计算其内所有样本的均值向量，作为新的质心。 新质心 \( \mu_ j' = \frac{1}{|C_ j|} \sum_ {x_ i \in C_ j} x_ i \)，其中 \( C_ j \) 是第j个簇的样本集合。 若质心发生变化，则返回步骤2；若质心不再变化（或变化小于阈值），算法终止。 步骤4：收敛性与输出 算法收敛时，输出每个样本的簇标签和最终质心。 目标函数为最小化簇内平方误差和（SSE）： \[ SSE = \sum_ {j=1}^K \sum_ {x_ i \in C_ j} \| x_ i - \mu_ j \|^2 \] 关键细节与优化 K值选择 ：可通过肘部法则（Elbow Method）或轮廓系数（Silhouette Score）确定最佳K值。 初始质心优化 ：K-means++算法通过智能初始化质心，提升收敛速度和稳定性。 处理空簇 ：若某簇无样本，可重新选择质心或删除该簇。 通过以上步骤，K-means能够高效实现聚类，但需注意其对异常值敏感且要求簇呈球形分布。