AES加密算法的MixColumns变换

题目描述
MixColumns是AES（高级加密标准）算法中的一个关键步骤，属于轮函数的一部分。它作用于AES状态的每一列（4字节），通过有限域GF(2⁸)上的矩阵乘法，实现字节之间的扩散，增强算法的线性扩散性质。要求详细解释MixColumns的数学原理、计算步骤及其在AES安全中的作用。

解题过程

1. 理解AES状态结构

• AES将明文分组为16字节的块，排列成4×4的字节矩阵（称为状态矩阵）。
• MixColumns按列处理数据，每列包含4个字节（如第0列的字节为S₀₀, S₁₀, S₂₀, S₃₀）。

2. 有限域GF(2⁸)基础

• AES的所有运算定义在有限域GF(2⁸)上，不可约多项式为 x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1（十六进制0x11B）。
• 字节视为GF(2⁸)上的多项式，例如字节0x57对应多项式 x⁶ + x⁴ + x² + x + 1。
• 加法：字节的异或（XOR）运算。
• 乘法：多项式乘法后模0x11B，可通过查表或移位实现。

3. MixColumns的矩阵乘法

每列向量乘以一个固定矩阵（加密时）：

| 02 03 01 01 |   | S₀₀ |   | S'₀₀ |
| 01 02 03 01 | × | S₁₀ | = | S'₁₀ |
| 01 01 02 03 |   | S₂₀ |   | S'₂₀ |
| 03 01 01 02 |   | S₃₀ |   | S'₃₀ |

其中：

• 数字为十六进制，表示GF(2⁸)中的元素（如0x02对应多项式x）。
• 乘法为GF(2⁸)乘法，加法为XOR。

计算示例（以输出字节S'₀₀为例）：

S'₀₀ = (0x02 • S₀₀) ⊕ (0x03 • S₁₀) ⊕ (0x01 • S₂₀) ⊕ (0x01 • S₃₀)

• 0x01 • a = a（乘法单位元）。
• 0x02 • a：
  • 若a的最高位为0：左移1位（相当于乘x）。
  • 若最高位为1：左移1位后与0x1B异或（模0x11B约简）。
• 0x03 • a = (0x02 • a) ⊕ a。

4. 分步计算演示

假设某列输入为：[0xDB, 0x13, 0x53, 0x45]。

1. 计算S'₀₀：

   • 0x02 • 0xDB：
     • 0xDB = 11011011₂，最高位为1 → 左移得10110110₂ ⊕ 00011011₂ = 10101101₂ = 0xAD。
   • 0x03 • 0x13 = (0x02 • 0x13) ⊕ 0x13：
     • 0x13 = 00010011₂，最高位0 → 左移得00100110₂ = 0x26。
     • 0x26 ⊕ 0x13 = 00110101₂ = 0x35。
   • 剩余项：0x53和0x45直接加入（乘0x01）。
   • 结果：0xAD ⊕ 0x35 ⊕ 0x53 ⊕ 0x45 = 0x8E。

2. 同理计算S'₁₀, S'₂₀, S'₃₀（略）。

5. 逆MixColumns（解密时）

解密使用逆矩阵，系数为0x0E, 0x0B, 0x0D, 0x09等，计算类似但更复杂，通常通过预计算表优化。

6. 安全作用

• 扩散性：改变输入列的任一字节，会影响输出列的所有4个字节（雪崩效应）。
• 与ShiftRows结合，确保多轮后所有明文比特影响所有密文比特。

总结
MixColumns通过有限域上的线性变换，增强了AES对差分和线性密码分析的抵抗力。其设计兼顾效率（查表或硬件优化）与安全性，是AES取代DES的关键改进之一。