非线性规划中的序列二次规划-积极集混合算法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 这是一个具有非线性目标函数和非线性不等式约束的优化问题。我们需要找到在满足所有约束条件下使目标函数最小的点。 解题过程 1. 算法选择思路 序列二次规划(SQP)算法在非线性规划中表现优秀，但对于约束较多的复杂问题，其计算量可能较大。积极集法能有效处理约束边界，但需要好的初始点。将两者结合，可以利用SQP的快速收敛性和积极集法对约束的精确处理能力。 2. 算法框架 混合算法的基本步骤： 步骤1：初始化。选择初始点x⁰，初始拉格朗日乘子估计λ⁰，初始Hessian近似B⁰ 步骤2：在当前点构造二次规划子问题 步骤3：使用积极集法求解二次规划子问题，得到搜索方向 步骤4：进行线搜索确定步长 步骤5：更新当前点和乘子估计 步骤6：检查收敛条件，若满足则停止，否则返回步骤2 3. 具体实现步骤 步骤3.1：构造二次规划子问题 在当前迭代点xᵏ，我们构造如下二次规划子问题： 最小化 ∇f(xᵏ)ᵀd + ½dᵀBᵏd 满足： gᵢ(xᵏ) + ∇gᵢ(xᵏ)ᵀd ≤ 0, i=1,2,3 其中Bᵏ是拉格朗日函数Hessian的近似。 步骤3.2：计算梯度和函数值 目标函数梯度：∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ]ᵀ 约束梯度： ∇g₁(x) = [ 2x₁, -1 ]ᵀ ∇g₂(x) = [ -1, 0 ]ᵀ ∇g₃(x) = [ 0, -1 ]ᵀ 步骤3.3：积极集法求解二次规划子问题 积极集法的核心思想是识别在最优解处起作用的约束集合。 子步骤： 预测积极集：基于当前约束违反情况和乘子估计，预测可能起作用的约束 求解等式约束二次规划：只考虑预测的积极约束作为等式约束 检查最优性条件：计算拉格朗日乘子，如果所有乘子非负且满足互补松弛条件，则找到解 如果存在负乘子，从积极集中移除对应约束 如果解不可行，将最违反的约束加入积极集 步骤3.4：线搜索和收敛判断 使用Merit函数（如l₁精确罚函数）进行线搜索： ϕ(x; μ) = f(x) + μ∑max(0, gᵢ(x)) 收敛判断基于KKT条件的满足程度： 梯度条件：‖∇ₓL(x,λ)‖ ≤ ε 可行性：max(0, gᵢ(x)) ≤ ε 互补松弛条件：|λᵢgᵢ(x)| ≤ ε 4. 数值示例 从初始点x⁰ = [ 0.5, 0.5 ]开始迭代： 第一次迭代：构造QP子问题，积极集法求解得到搜索方向 线搜索确定步长，更新点位置 重复直到收敛到最优解x* ≈ [ 1.0, 1.0 ] 5. 算法优势 这种混合方法结合了SQP的快速局部收敛和积极集法对约束边界的精确处理，特别适合中等规模的非线性规划问题，在约束数量较多时仍能保持较好的计算效率。