切棍子的最小成本问题（进阶版）
题目描述
有一根长度为n的棍子，需要将它切割成若干段。切割位置由数组cuts给出，包含m个不同的整数，表示必须在这些位置进行切割。每次切割的成本等于当前被切割棍子的长度。请计算按照给定切割顺序（cuts数组顺序）进行切割的最小总成本。
例如：n = 7, cuts = [1, 3, 4, 5]
第一次切割位置必须是1，第二次必须是3，以此类推。需要找到按此顺序切割的最小总成本。
解题过程
步骤1：问题分析
这是一个区间动态规划问题，但增加了切割顺序的约束。与标准切棍子问题不同，这里cuts数组的顺序就是实际切割的顺序，这增加了问题的复杂性。
关键观察：
- 每次切割时，棍子的当前长度就是本次切割的成本
- 切割顺序固定，意味着我们需要按照cuts数组的顺序依次处理切割点
- 每次切割会将当前棍子段分成两段，后续切割都在这些段上进行
步骤2：状态定义
定义dp[i][j]表示在cuts数组的第i到第j个切割点所形成的区间上，按照给定顺序进行切割的最小成本。
但是，由于切割顺序固定，我们需要记录当前处理的棍子段的左右边界。更准确的状态定义：
dp[l][r]表示在棍子段从left到right（即原始棍子的子段）上，处理该段内所有切割点的最小成本，其中l和r表示当前棍子段的左右边界在原始棍子上的位置。
步骤3：状态转移方程
对于当前考虑的棍子段[l, r]，我们需要找到这个段内第一个应该切割的位置（即cuts数组中在该段内的第一个切割点）。
设第一个切割点为c，切割成本为当前段长度：r - l
切割后，棍子分为两个段：[l, c]和[c, r]
后续切割分别在两个段上进行，总成本为：
当前切割成本 + 左段成本 + 右段成本
状态转移方程：
dp[l][r] = min{ (r - l) + dp[l][c] + dp[c][r] }
其中c遍历当前段[l, r]内的所有切割点
步骤4：预处理和边界条件
为了处理方便，我们在cuts数组的首尾添加0和n，表示棍子的两端。
边界条件：
- 如果段[l, r]内没有切割点，则dp[l][r] = 0
- 如果段内只有一个切割点，则dp[l][r] = r - l（只需一次切割）
步骤5：实现细节
- 对cuts数组排序，并添加边界0和n
- 使用memo数组记录已计算的结果，避免重复计算
- 对于每个区间[l, r]，检查区间内的切割点，找到第一个需要切割的位置
- 递归计算左右子段的最小成本
步骤6：算法实现思路
def minCost(n, cuts):
# 添加边界点并排序
cuts = [0] + sorted(cuts) + [n]
m = len(cuts)
# dp[i][j]表示从cuts[i]到cuts[j]段的最小成本
dp = [[0] * m for _ in range(m)]
# 按区间长度从小到大计算
for length in range(2, m): # 至少包含一个切割点
for i in range(m - length):
j = i + length
dp[i][j] = float('inf')
# 尝试所有可能的第一个切割点
for k in range(i + 1, j):
cost = cuts[j] - cuts[i] # 当前段长度
dp[i][j] = min(dp[i][j], cost + dp[i][k] + dp[k][j])
return dp[0][m-1]
步骤7：复杂度分析
- 时间复杂度：O(m³)，其中m是cuts数组的长度（包括边界点）
- 空间复杂度：O(m²)，用于存储dp表
这个解法通过区间DP有效解决了固定切割顺序的切棍子问题，确保了按照给定顺序进行切割的同时最小化总成本。