并行与分布式系统中的并行图划分：METIS算法 题目描述 在图计算中，图划分（Graph Partitioning）是将图的顶点集划分为若干个大小相近的子集，同时最小化子集之间的边数（即切割边）。METIS算法是一种高效的多级图划分算法，广泛应用于并行计算中以实现负载均衡。其核心目标是将大图划分为k个部分，使得每个部分的顶点数大致相等，且切割边数量最小。该算法包含三个阶段：粗化（Coarsening）、初始划分（Initial Partitioning）和反粗化/优化（Uncoarsening/Refinement）。 解题过程 1. 粗化阶段（Coarsening） 目标 ：将原始图（记为G₀）逐步简化，生成一系列规模递减的图G₁, G₂, ..., Gₘ，其中Gₘ的顶点数远小于G₀。 方法 ： 边收缩（Edge Contraction） ：选择一条边（如权重最大的边），将其两个端点合并为一个超顶点（Supervertex），新顶点的权重为原顶点权重之和。合并后，重复边的权重叠加。 匹配策略 ：常用随机匹配或基于重量的匹配（如HEM，Heavy Edge Matching），优先合并权重大的边，以保留图的局部结构。 结果 ：最终得到一个极小的图Gₘ（如仅剩几百个顶点），便于后续精确划分。 2. 初始划分阶段（Initial Partitioning） 目标 ：对最粗的图Gₘ进行划分。 方法 ： 由于Gₘ规模很小，可直接使用精确算法（如穷举搜索）或启发式算法（如谱划分、Kernighan-Lin算法）将其划分为k个部分。 要求划分后的子图权重均衡（即顶点权重之和相近），并尽量少切割边。 3. 反粗化与优化阶段（Uncoarsening/Refinement） 步骤 ： 反粗化 ：将Gₘ的划分结果逐层投影回更细的图（从Gₘ到Gₘ₋₁, ..., G₀）。每层将超顶点展开为原顶点，并继承所属划分。 优化（Refinement） ：在每一层投影后，使用局部优化算法（如Kernighan-Lin算法或Fiduccia-Mattheyses算法）调整顶点归属，减少切割边。 KL/FM算法 ：通过交换顶点 between 不同分区，选择能最大程度降低切割边的移动操作，直到无法进一步优化。 关键技巧 ：限制优化范围（如仅检查边界顶点），避免全局重算，提升效率。 4. 并行化扩展 粗化并行化 ：在不同子图上并行执行匹配和收缩（如基于顶点分块的并行匹配）。 优化并行化 ：采用多线程分别优化不同子图边界，通过锁或原子操作处理顶点移动冲突。 总结 METIS通过多级框架将复杂划分问题分解为可管理的子问题，兼顾全局优化与局部调整，其并行化版本（如ParMETIS）进一步利用分布式内存加速大规模图划分。