由于函数和权重对称，合并正负节点：  

高斯-埃尔米特求积公式在带权函数积分中的变换技巧 题目描述 计算带权积分 \( I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \)，其中 \( f(x) = \sin(x) \)。要求利用高斯-埃尔米特求积公式，通过变换技巧解决权函数 \( e^{-x^2} \) 与振荡函数结合时的积分困难。 解题过程 问题分析 积分形式为 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \sin(x) \, dx \)，权函数 \( e^{-x^2} \) 是高斯-埃尔米特求积公式的标准权函数。 直接应用高斯-埃尔米特求积公式：积分近似为 \( \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) \)，其中 \( x_ i \) 是埃尔米特多项式的根，\( w_ i \) 是对应权重。 难点：\( \sin(x) \) 在无穷区间振荡，但权函数 \( e^{-x^2} \) 在 \( |x| \gg 1 \) 时急剧衰减，因此积分主要贡献来自 \( x \) 较小区域。 高斯-埃尔米特求积公式回顾 公式：\( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} g(x) dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i^{\text{GH}} g(x_ i^{\text{GH}}) \)。 节点 \( x_ i^{\text{GH}} \) 是 \( n \) 次埃尔米特多项式 \( H_ n(x) \) 的根，权重 \( w_ i^{\text{GH}} = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [ H_ {n-1}(x_ i) ]^2} \)。 本例中 \( g(x) = \sin(x) \)，需直接计算 \( g(x_ i^{\text{GH}}) \)。 变换技巧：处理振荡函数 振荡函数 \( \sin(x) \) 在 \( |x| \) 较大时多次变号，但权函数 \( e^{-x^2} \) 将其压制，因此只需保证节点覆盖 \( \sin(x) \) 的主要振荡区间。 关键步骤 ：通过变量缩放调整节点分布。若 \( \sin(x) \) 的振荡频率高，可考虑变换 \( t = kx \) 将积分调整为标准形式，但本例中 \( \sin(x) \) 频率为1，无需缩放。 实际计算时，选择适当的节点数 \( n \)，使节点覆盖 \( [ -a, a ] \) 区间（例如 \( a=5 \)），因 \( e^{-5^2} \approx 1.4 \times 10^{-11} \) 可忽略外部贡献。 数值计算示例（以 \( n=5 \) 为例） 5阶高斯-埃尔米特求积的节点和权重（查表可得）： \( x_ i \): ±2.02018, ±0.95857, 0 \( w_ i \): 0.01995, 0.39362, 0.94531 计算 \( g(x_ i) = \sin(x_ i) \)： \( \sin(\pm 2.02018) \approx \pm 0.8968 \), \( \sin(\pm 0.95857) \approx \pm 0.8186 \), \( \sin(0) = 0 \)。 近似积分： \[ I \approx 0.01995 \times 0.8968 + 0.39362 \times 0.8186 + 0.94531 \times 0 + (\text{对称项}) \] 由于函数和权重对称，合并正负节点： \[ I \approx 2 \times [ 0.01995 \times 0.8968 + 0.39362 \times 0.8186 ] \approx 0.6620 \] 误差分析与节点数选择 精确值：\( I = \sqrt{\pi} e^{-1/4} \sin(1/2) \approx 0.6639 \)（通过傅里叶变换可得）。 误差：\( |0.6639 - 0.6620| \approx 0.0019 \)，相对误差约 0.29%。 增加节点数可提高精度：例如 \( n=10 \) 时误差可降至 \( 10^{-6} \) 量级。 总结技巧 高斯-埃尔米特公式直接适用于 \( e^{-x^2} \) 型权函数的积分。 振荡函数需确保节点覆盖其显著振荡区间，必要时通过变量变换调整尺度。 节点数增加能有效提升精度，尤其对振荡频繁或变化剧烈的被积函数。