高斯-埃尔米特求积公式在带权函数积分中的应用
题目描述
考虑计算带权函数积分 \(I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx\)，其中 \(f(x) = \sin(x)\)。高斯-埃尔米特求积公式适用于此类以 \(e^{-x^2}\) 为权函数的无穷区间积分。要求通过高斯-埃尔米特求积公式计算该积分，并分析节点数对精度的影响。
解题过程
- 理解高斯-埃尔米特求积公式
- 公式形式：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
其中 $ x_i $ 是埃尔米特多项式 $ H_n(x) $ 的根（求积节点），$ w_i $ 是对应的权重。
- 关键特性：当 \(f(x)\) 是次数不超过 \(2n-1\) 的多项式时，公式精确成立。
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选择节点和权重
- 对于 \(n\) 个节点，需查找标准的高斯-埃尔米特求积节点 \(x_i\) 和权重 \(w_i\)（可通过数学表或数值库获取）。例如：
- \(n=2\) 时：节点 \(x_{1,2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)，权重 \(w_{1,2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。
- \(n=3\) 时：节点 \(x_1 = -\sqrt{3/2}, x_2 = 0, x_3 = \sqrt{3/2}\)，权重 \(w_1 = w_3 = \frac{\sqrt{\pi}}{6}, w_2 = \frac{2\sqrt{\pi}}{3}\)。
- 对于 \(n\) 个节点，需查找标准的高斯-埃尔米特求积节点 \(x_i\) 和权重 \(w_i\)（可通过数学表或数值库获取）。例如：
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应用公式计算积分
- 以 \(n=2\) 为例：
\[ I \approx w_1 f(x_1) + w_2 f(x_2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left[ \sin\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \sin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right] = 0 \]
由于 $ \sin(x) $ 是奇函数，节点对称且权重相等，结果恰好为 0（符合奇函数在对称区间积分的性质）。
- 以 \(n=3\) 为例：
\[ I \approx \frac{\sqrt{\pi}}{6} \sin\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right) + \frac{2\sqrt{\pi}}{3} \sin(0) + \frac{\sqrt{\pi}}{6} \sin\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = 0 \]
同理，因对称性结果为 0。
- 处理非对称或高精度需求
- 当 \(f(x)\) 非奇函数时（如 \(f(x) = \cos(x)\)），需实际计算加权和。例如对 \(f(x) = \cos(x)\) 取 \(n=3\)：
\[ I \approx \frac{\sqrt{\pi}}{6} \left[ \cos\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right) + \cos\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \right] + \frac{2\sqrt{\pi}}{3} \cos(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{3} \cos\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) + \frac{2\sqrt{\pi}}{3} \]
- 增加节点数 \(n\) 可提升精度（尤其当 \(f(x)\) 非多项式时）。例如 \(n=5\) 的节点和权重可进一步逼近真实值。
- 误差分析
- 高斯-埃尔米特公式的误差项为：
\[ E_n = \frac{n! \sqrt{\pi}}{2^n (2n)!} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (-\infty, \infty) \]
对于 $ f(x) = \sin(x) $，其导数有界，误差随 $ n $ 增大而指数级下降。
总结
通过选择适当的高斯-埃尔米特节点和权重，可将带权积分转化为节点处函数值的加权和。节点数增加可提高精度，尤其适用于光滑函数在无穷区间上的积分。