基于线性规划的图最小支配集问题求解示例
字数 2285 2025-11-01 15:29:05

基于线性规划的图最小支配集问题求解示例

题目描述
考虑一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V = \{1, 2, \dots, n\}\) 是顶点集，\(E\) 是边集。一个支配集 \(S \subseteq V\) 需满足：对于任意顶点 \(v \in V\)，要么 \(v \in S\)，要么 \(v\) 与 \(S\) 中的某个顶点相邻。图的最小支配集问题要求找到顶点数最少的支配集。该问题是NP难问题，但可以通过整数线性规划建模，并利用线性规划松弛与舍入策略近似求解。本示例将展示如何将问题转化为线性规划模型，并通过松弛和舍入得到近似解。

解题过程

  1. 整数线性规划建模
    • 定义决策变量：对每个顶点 \(i \in V\)，设 \(x_i \in \{0, 1\}\)，其中 \(x_i = 1\) 表示顶点 \(i\) 被选入支配集，否则为0。
    • 目标函数：最小化支配集的大小，即 \(\min \sum_{i \in V} x_i\)。
    • 约束条件：对每个顶点 \(j \in V\)，要求 \(j\) 或其至少一个邻居属于支配集。数学表达为：

\[ x_j + \sum_{i \in N(j)} x_i \geq 1 \quad \forall j \in V, \]

 其中 $ N(j) $ 表示顶点 $ j $ 的邻居集合（不包括 $ j $ 自身）。
  • 该模型为整数线性规划，直接求解计算困难。
  1. 线性规划松弛
    • 将整数约束 \(x_i \in \{0, 1\}\) 松弛为连续约束 \(0 \leq x_i \leq 1\)，得到线性规划问题：

\[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_{i \in V} x_i \\ \text{s.t.} \quad & x_j + \sum_{i \in N(j)} x_i \geq 1, \quad \forall j \in V, \\ & 0 \leq x_i \leq 1, \quad \forall i \in V. \end{aligned} \]

  • 该线性规划可在多项式时间内求解（如使用单纯形法或内点法），得到最优解 \(x^*\)。

  1. 舍入策略构建近似解

    • 线性规划的解 \(x^*\) 是分数解，需通过舍入转化为整数解。采用阈值舍入法：
      • 设定阈值 \(\theta \in (0, 1]\)（常见取值为 \(\theta = 0.5\) 或基于问题调整）。
      • 构造支配集 \(S = \{ i \in V \mid x_i^* \geq \theta \}\)。
    • 合理性验证：对任意顶点 \(j\)，若 \(x_j^* \geq \theta\)，则 \(j \in S\)，满足支配条件；若 \(x_j^* < \theta\)，则约束 \(x_j^* + \sum_{i \in N(j)} x_i^* \geq 1\) 要求存在邻居 \(i\) 满足 \(x_i^* \geq 1 - x_j^* > 1 - \theta\)。若取 \(\theta \leq 0.5\)，则 \(1 - \theta \geq \theta\)，因此该邻居必被选入 \(S\)，确保 \(j\) 被支配。

  2. 近似比分析

    • 设线性规划最优值为 \(\text{LP}^*\)，整数规划最优值为 \(\text{OPT}\)。显然 \(\text{LP}^* \leq \text{OPT}\)。
    • 舍入后解的大小满足 \(|S| \leq \frac{1}{\theta} \sum x_i^* = \frac{1}{\theta} \text{LP}^* \leq \frac{1}{\theta} \text{OPT}\)。
    • 当取 \(\theta = 0.5\) 时，近似比为 2，即所得支配集大小最多是最优解的2倍。

  3. 示例计算

    • 考虑一个简单图：顶点集 \(V = \{1, 2, 3\}\)，边集 \(E = \{(1,2), (2,3)\}\)。
    • 线性规划模型：

\[ \begin{aligned} \min \quad & x_1 + x_2 + x_3 \\ \text{s.t.} \quad & x_1 + x_2 \geq 1 \quad (\text{顶点1约束}), \\ & x_1 + x_2 + x_3 \geq 1 \quad (\text{顶点2约束}), \\ & x_2 + x_3 \geq 1 \quad (\text{顶点3约束}), \\ & 0 \leq x_i \leq 1. \end{aligned} \]

  • 求解得最优解 \(x^* = (0.5, 0.5, 0)\)（目标值1.5）。取 \(\theta = 0.5\)，舍入得 \(S = \{1, 2\}\)。验证可知 \(S\) 是支配集，大小为2，而最优解为 \(\{2\}\)（大小1），满足近似比2。

总结
通过线性规划松弛与舍入，可将NP难的最小支配集问题转化为可高效求解的近似算法，平衡计算复杂度与解的质量。该方法可扩展至更复杂的图结构或加权版本。

基于线性规划的图最小支配集问题求解示例 题目描述 考虑一个无向图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V = \{1, 2, \dots, n\} \) 是顶点集，\( E \) 是边集。一个支配集 \( S \subseteq V \) 需满足：对于任意顶点 \( v \in V \)，要么 \( v \in S \)，要么 \( v \) 与 \( S \) 中的某个顶点相邻。图的最小支配集问题要求找到顶点数最少的支配集。该问题是NP难问题，但可以通过整数线性规划建模，并利用线性规划松弛与舍入策略近似求解。本示例将展示如何将问题转化为线性规划模型，并通过松弛和舍入得到近似解。 解题过程 整数线性规划建模 定义决策变量：对每个顶点 \( i \in V \)，设 \( x_ i \in \{0, 1\} \)，其中 \( x_ i = 1 \) 表示顶点 \( i \) 被选入支配集，否则为0。 目标函数：最小化支配集的大小，即 \( \min \sum_ {i \in V} x_ i \)。 约束条件：对每个顶点 \( j \in V \)，要求 \( j \) 或其至少一个邻居属于支配集。数学表达为： \[ x_ j + \sum_ {i \in N(j)} x_ i \geq 1 \quad \forall j \in V, \] 其中 \( N(j) \) 表示顶点 \( j \) 的邻居集合（不包括 \( j \) 自身）。 该模型为整数线性规划，直接求解计算困难。 线性规划松弛 将整数约束 \( x_ i \in \{0, 1\} \) 松弛为连续约束 \( 0 \leq x_ i \leq 1 \)，得到线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {i \in V} x_ i \\ \text{s.t.} \quad & x_ j + \sum_ {i \in N(j)} x_ i \geq 1, \quad \forall j \in V, \\ & 0 \leq x_ i \leq 1, \quad \forall i \in V. \end{aligned} \] 该线性规划可在多项式时间内求解（如使用单纯形法或内点法），得到最优解 \( x^* \)。 舍入策略构建近似解 线性规划的解 \( x^* \) 是分数解，需通过舍入转化为整数解。采用阈值舍入法： 设定阈值 \( \theta \in (0, 1 ] \)（常见取值为 \( \theta = 0.5 \) 或基于问题调整）。 构造支配集 \( S = \{ i \in V \mid x_ i^* \geq \theta \} \)。 合理性验证：对任意顶点 \( j \)，若 \( x_ j^* \geq \theta \)，则 \( j \in S \)，满足支配条件；若 \( x_ j^* < \theta \)，则约束 \( x_ j^* + \sum_ {i \in N(j)} x_ i^* \geq 1 \) 要求存在邻居 \( i \) 满足 \( x_ i^* \geq 1 - x_ j^* > 1 - \theta \)。若取 \( \theta \leq 0.5 \)，则 \( 1 - \theta \geq \theta \)，因此该邻居必被选入 \( S \)，确保 \( j \) 被支配。 近似比分析 设线性规划最优值为 \( \text{LP}^* \)，整数规划最优值为 \( \text{OPT} \)。显然 \( \text{LP}^* \leq \text{OPT} \)。 舍入后解的大小满足 \( |S| \leq \frac{1}{\theta} \sum x_ i^* = \frac{1}{\theta} \text{LP}^* \leq \frac{1}{\theta} \text{OPT} \)。 当取 \( \theta = 0.5 \) 时，近似比为 2，即所得支配集大小最多是最优解的2倍。 示例计算 考虑一个简单图：顶点集 \( V = \{1, 2, 3\} \)，边集 \( E = \{(1,2), (2,3)\} \)。 线性规划模型： \[ \begin{aligned} \min \quad & x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 \\ \text{s.t.} \quad & x_ 1 + x_ 2 \geq 1 \quad (\text{顶点1约束}), \\ & x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 \geq 1 \quad (\text{顶点2约束}), \\ & x_ 2 + x_ 3 \geq 1 \quad (\text{顶点3约束}), \\ & 0 \leq x_ i \leq 1. \end{aligned} \] 求解得最优解 \( x^* = (0.5, 0.5, 0) \)（目标值1.5）。取 \( \theta = 0.5 \)，舍入得 \( S = \{1, 2\} \)。验证可知 \( S \) 是支配集，大小为2，而最优解为 \( \{2\} \)（大小1），满足近似比2。 总结 通过线性规划松弛与舍入，可将NP难的最小支配集问题转化为可高效求解的近似算法，平衡计算复杂度与解的质量。该方法可扩展至更复杂的图结构或加权版本。