高斯过程分类（Gaussian Process Classification）的原理与预测过程
字数 3288 2025-11-01 15:29:06

高斯过程分类（Gaussian Process Classification）的原理与预测过程

题目描述
高斯过程分类（GPC）是一种基于贝叶斯概率框架的非参数分类方法，适用于二分类或多分类问题。其核心思想是将高斯过程先验作用于隐函数，再通过逻辑函数（如sigmoid）将隐函数值映射为类别概率。与高斯过程回归（GPR）不同，GPC因观测目标为离散类别，需借助近似推断（如拉普拉斯近似或变分推断）求解后验分布。本题目将详细讲解GPC的数学模型、隐函数构建、后验推断及预测步骤。

解题过程

  1. 问题定义与隐函数引入
    • 设训练集为 \(\{(\mathbf{x}_i, y_i)\}_{i=1}^n\)，其中 \(y_i \in \{0,1\}\)（二分类）。GPC假设存在隐函数 \(f(\mathbf{x})\)，其函数值 \(f_i = f(\mathbf{x}_i)\) 服从联合高斯分布（高斯过程先验）。
    • 通过sigmoid函数（如logistic函数 \(\sigma(z) = 1/(1+e^{-z})\)）将隐函数值转换为类别概率：

\[ P(y_i=1 | f_i) = \sigma(f_i) \]

  • 多分类问题可通过softmax函数扩展，但以下以二分类为例。
  1. 高斯过程先验设置
    • 隐函数 \(f(\mathbf{x}) \sim \mathcal{GP}(m(\mathbf{x}), k(\mathbf{x}, \mathbf{x}'))\)，其中 \(m(\mathbf{x})\) 为均值函数（常设为0），\(k(\cdot, \cdot)\) 为协方差函数（如径向基核RBF）。
    • 训练点的隐函数值向量 \(\mathbf{f} = [f_1, \dots, f_n]^\top\) 服从多元高斯分布：

\[ p(\mathbf{f} | \mathbf{X}) = \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{K}_{XX}) \]

 其中 $ \mathbf{K}_{XX} $ 是核矩阵，$ [\mathbf{K}_{XX}]_{ij} = k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) $。
  1. 后验分布推断的挑战与近似方法
    • 目标为计算隐函数的后验分布 \(p(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y})\)。根据贝叶斯定理：

\[ p(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y}) = \frac{p(\mathbf{y} | \mathbf{f}) p(\mathbf{f} | \mathbf{X})}{p(\mathbf{y} | \mathbf{X})} \]

 其中似然项 $ p(\mathbf{y} | \mathbf{f}) = \prod_{i=1}^n \sigma(y_i f_i) $（注：此处 $ y_i \in \{-1,1\} $ 时似然为 $ \sigma(y_i f_i) $，若 $ y_i \in \{0,1\} $ 需调整）。
  • 由于似然非高斯分布，后验 \(p(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y})\) 无法解析求解，需采用近似推断。以拉普拉斯近似为例：
    • 步骤1：寻找后验众数 \(\hat{\mathbf{f}}\)（即最大化 \(\log p(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y})\) 的 \(\mathbf{f}\)），通过牛顿法迭代求解：

\[ \mathbf{f}^{\text{new}} = (\mathbf{K}_{XX}^{-1} + \mathbf{W})^{-1} \mathbf{W} (\mathbf{f} + \mathbf{W}^{-1} \mathbf{r}) \]

   其中 $ \mathbf{W} = -\nabla \nabla \log p(\mathbf{y} | \mathbf{f}) $ 为对角阵（Hessian矩阵），$ \mathbf{r} = \nabla \log p(\mathbf{y} | \mathbf{f}) $。  
 - **步骤2**：在众数 $ \hat{\mathbf{f}} $ 处用高斯分布近似后验：

\[ q(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y}) = \mathcal{N}(\hat{\mathbf{f}}, (\mathbf{K}_{XX}^{-1} + \mathbf{W})^{-1}) \]

  1. 新样本的预测步骤
    • 对于新输入 \(\mathbf{x}^*\)，首先计算隐函数后验 \(p(f^* | \mathbf{X}, \mathbf{y}, \mathbf{x}^*)\) 的近似分布：
      • 联合分布 \(p(\mathbf{f}, f^* | \mathbf{X}, \mathbf{x}^*)\) 为高斯分布，条件分布 \(p(f^* | \mathbf{f}, \mathbf{X}, \mathbf{x}^*)\) 可直接推导。
      • 利用拉普拉斯近似的高斯后验 \(q(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y})\)，积分得：

\[ q(f^* | \mathbf{X}, \mathbf{y}, \mathbf{x}^*) = \int p(f^* | \mathbf{f}, \mathbf{X}, \mathbf{x}^*) q(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y}) d\mathbf{f} \]

   结果为高斯分布 $ \mathcal{N}(\mu^*, \sigma^{*2}) $，其中：

\[ \mu^* = \mathbf{k}_*^\top \mathbf{K}_{XX}^{-1} \hat{\mathbf{f}}, \quad \sigma^{*2} = k(\mathbf{x}^*, \mathbf{x}^*) - \mathbf{k}_*^\top (\mathbf{K}_{XX} + \mathbf{W}^{-1})^{-1} \mathbf{k}_* \]

   （$ \mathbf{k}_* = [k(\mathbf{x}^*, \mathbf{x}_1), \dots, k(\mathbf{x}^*, \mathbf{x}_n)]^\top $）。
  • 最终类别概率通过对隐函数值积分得到：

\[ P(y^*=1 | \mathbf{X}, \mathbf{y}, \mathbf{x}^*) = \int \sigma(f^*) q(f^* | \mathbf{X}, \mathbf{y}, \mathbf{x}^*) df^* \]

 此积分无闭式解，可通过数值积分（如高斯-埃尔米特积分）或蒙特卡洛采样近似。
  1. 多分类扩展与核函数选择
    • 多分类问题需为每个类别引入隐函数 \(f_c(\mathbf{x})\)，并通过softmax函数计算概率：

\[ P(y=c | \{f_c\}) = \frac{e^{f_c}}{\sum_{j=1}^C e^{f_j}} \]

 后验推断更复杂，常使用变分推断或期望传播（EP）近似。
  • 核函数需根据数据特性选择（如RBF核适用于平滑函数，Matérn核适用于更灵活的拟合）。

关键点总结

  • GPC通过隐函数的高斯过程先验与非线性映射结合，实现概率化分类。
  • 后验推断需依赖近似方法（如拉普拉斯近似）处理非高斯似然。
  • 预测阶段需对隐函数后验积分，得到校准后的类别概率，优于直接输出点估计的模型。
高斯过程分类（Gaussian Process Classification）的原理与预测过程 题目描述 高斯过程分类（GPC）是一种基于贝叶斯概率框架的非参数分类方法，适用于二分类或多分类问题。其核心思想是将高斯过程先验作用于隐函数，再通过逻辑函数（如sigmoid）将隐函数值映射为类别概率。与高斯过程回归（GPR）不同，GPC因观测目标为离散类别，需借助近似推断（如拉普拉斯近似或变分推断）求解后验分布。本题目将详细讲解GPC的数学模型、隐函数构建、后验推断及预测步骤。 解题过程 问题定义与隐函数引入 设训练集为 \( \{(\mathbf{x} i, y_ i)\} {i=1}^n \)，其中 \( y_ i \in \{0,1\} \)（二分类）。GPC假设存在隐函数 \( f(\mathbf{x}) \)，其函数值 \( f_ i = f(\mathbf{x}_ i) \) 服从联合高斯分布（高斯过程先验）。 通过sigmoid函数（如logistic函数 \( \sigma(z) = 1/(1+e^{-z}) \)）将隐函数值转换为类别概率： \[ P(y_ i=1 | f_ i) = \sigma(f_ i) \] 多分类问题可通过softmax函数扩展，但以下以二分类为例。 高斯过程先验设置 隐函数 \( f(\mathbf{x}) \sim \mathcal{GP}(m(\mathbf{x}), k(\mathbf{x}, \mathbf{x}')) \)，其中 \( m(\mathbf{x}) \) 为均值函数（常设为0），\( k(\cdot, \cdot) \) 为协方差函数（如径向基核RBF）。 训练点的隐函数值向量 \( \mathbf{f} = [ f_ 1, \dots, f_ n ]^\top \) 服从多元高斯分布： \[ p(\mathbf{f} | \mathbf{X}) = \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{K} {XX}) \] 其中 \( \mathbf{K} {XX} \) 是核矩阵，\( [ \mathbf{K} {XX}] {ij} = k(\mathbf{x}_ i, \mathbf{x}_ j) \)。 后验分布推断的挑战与近似方法 目标为计算隐函数的后验分布 \( p(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y}) \)。根据贝叶斯定理： \[ p(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y}) = \frac{p(\mathbf{y} | \mathbf{f}) p(\mathbf{f} | \mathbf{X})}{p(\mathbf{y} | \mathbf{X})} \] 其中似然项 \( p(\mathbf{y} | \mathbf{f}) = \prod_ {i=1}^n \sigma(y_ i f_ i) \)（注：此处 \( y_ i \in \{-1,1\} \) 时似然为 \( \sigma(y_ i f_ i) \)，若 \( y_ i \in \{0,1\} \) 需调整）。 由于似然非高斯分布，后验 \( p(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y}) \) 无法解析求解，需采用近似推断。以拉普拉斯近似为例： 步骤1 ：寻找后验众数 \( \hat{\mathbf{f}} \)（即最大化 \( \log p(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y}) \) 的 \( \mathbf{f} \)），通过牛顿法迭代求解： \[ \mathbf{f}^{\text{new}} = (\mathbf{K}_ {XX}^{-1} + \mathbf{W})^{-1} \mathbf{W} (\mathbf{f} + \mathbf{W}^{-1} \mathbf{r}) \] 其中 \( \mathbf{W} = -\nabla \nabla \log p(\mathbf{y} | \mathbf{f}) \) 为对角阵（Hessian矩阵），\( \mathbf{r} = \nabla \log p(\mathbf{y} | \mathbf{f}) \)。 步骤2 ：在众数 \( \hat{\mathbf{f}} \) 处用高斯分布近似后验： \[ q(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y}) = \mathcal{N}(\hat{\mathbf{f}}, (\mathbf{K}_ {XX}^{-1} + \mathbf{W})^{-1}) \] 新样本的预测步骤 对于新输入 \( \mathbf{x}^* \)，首先计算隐函数后验 \( p(f^* | \mathbf{X}, \mathbf{y}, \mathbf{x}^* ) \) 的近似分布： 联合分布 \( p(\mathbf{f}, f^* | \mathbf{X}, \mathbf{x}^ ) \) 为高斯分布，条件分布 \( p(f^ | \mathbf{f}, \mathbf{X}, \mathbf{x}^* ) \) 可直接推导。 利用拉普拉斯近似的高斯后验 \( q(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y}) \)，积分得： \[ q(f^* | \mathbf{X}, \mathbf{y}, \mathbf{x}^ ) = \int p(f^ | \mathbf{f}, \mathbf{X}, \mathbf{x}^ ) q(\mathbf{f} | \mathbf{X}, \mathbf{y}) d\mathbf{f} \] 结果为高斯分布 \( \mathcal{N}(\mu^ , \sigma^{ 2}) \)，其中： \[ \mu^ = \mathbf{k} * ^\top \mathbf{K} {XX}^{-1} \hat{\mathbf{f}}, \quad \sigma^{ 2} = k(\mathbf{x}^ , \mathbf{x}^ ) - \mathbf{k}_ ^\top (\mathbf{K} {XX} + \mathbf{W}^{-1})^{-1} \mathbf{k} * \] （\( \mathbf{k}_ * = [ k(\mathbf{x}^ , \mathbf{x}_ 1), \dots, k(\mathbf{x}^ , \mathbf{x}_ n) ]^\top \)）。 最终类别概率通过对隐函数值积分得到： \[ P(y^ =1 | \mathbf{X}, \mathbf{y}, \mathbf{x}^ ) = \int \sigma(f^ ) q(f^ | \mathbf{X}, \mathbf{y}, \mathbf{x}^ ) df^ \] 此积分无闭式解，可通过数值积分（如高斯-埃尔米特积分）或蒙特卡洛采样近似。 多分类扩展与核函数选择 多分类问题需为每个类别引入隐函数 \( f_ c(\mathbf{x}) \)，并通过softmax函数计算概率： \[ P(y=c | \{f_ c\}) = \frac{e^{f_ c}}{\sum_ {j=1}^C e^{f_ j}} \] 后验推断更复杂，常使用变分推断或期望传播（EP）近似。 核函数需根据数据特性选择（如RBF核适用于平滑函数，Matérn核适用于更灵活的拟合）。 关键点总结 GPC通过隐函数的高斯过程先验与非线性映射结合，实现概率化分类。 后验推断需依赖近似方法（如拉普拉斯近似）处理非高斯似然。 预测阶段需对隐函数后验积分，得到校准后的类别概率，优于直接输出点估计的模型。