深度学习中优化器的SGD with Weight Decay原理与权重衰减机制

题目描述：
权重衰减（Weight Decay）是深度学习中广泛使用的正则化技术，通过向损失函数添加L2正则化项来防止模型过拟合。SGD with Weight Decay将标准随机梯度下降与权重衰减机制结合，在参数更新时显式地减小权重值。本题要求深入理解权重衰减的数学原理、与L2正则化的等价关系，以及其在SGD优化器中的具体实现方式。

解题过程：

1. 权重衰减的基本概念
   权重衰减的核心思想是通过惩罚较大的权重值来控制模型复杂度。在损失函数中加入L2正则化项：
   J_reg(θ) = J(θ) + (λ/2) * ||θ||²
   其中λ是衰减系数，||θ||²是权重的L2范数平方。这样训练时优化器会同时最小化原始损失和权重幅度。

2. 数学推导
   对正则化后的损失函数求梯度：
   ∇J_reg(θ) = ∇J(θ) + λθ

标准SGD更新规则变为：
θ_{t+1} = θ_t - η[∇J(θ_t) + λθ_t]
= θ_t - η∇J(θ_t) - ηλθ_t
= (1 - ηλ)θ_t - η∇J(θ_t)

这里(1-ηλ)就是权重衰减因子，每次更新前会先将权重缩小一定比例。

3. 与L2正则化的等价性
   虽然权重衰减在形式上与L2正则化等价，但实现时有细微差别：

• L2正则化：修改损失函数，影响梯度计算
• 权重衰减：直接修改优化器更新规则
  在标准SGD中两者数学等价，但在自适应优化器（如Adam）中不等价。

4. 算法实现步骤
   参数：学习率η，衰减系数λ
   初始化：参数θ，迭代次数T
   For t=1 to T:
   采样小批量数据
   计算梯度g_t = ∇J(θ_t)
   更新参数：θ_{t+1} = (1 - ηλ)θ_t - ηg_t

5. 权重衰减的作用机制

• 防止过拟合：限制权重增长，降低模型复杂度
• 改善泛化：通过控制权重幅度提高模型在测试集的表现
• 数值稳定性：避免权重值过大导致的数值计算问题

6. 超参数选择策略

• λ通常设为10⁻⁴到10⁻²之间
• 需要与学习率η协同调优
• 对于不同层可使用不同的衰减系数（如全连接层比卷积层需要更强正则化）

7. 实际实现注意事项
   在PyTorch等框架中，通常在优化器参数中直接设置weight_decay：

optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), 
                           lr=0.01, 
                           weight_decay=0.001)

8. 与Dropout的配合使用
   权重衰减常与Dropout等正则化技术结合：

• Dropout：训练时随机失活神经元
• 权重衰减：控制参数幅度
  两者从不同角度防止过拟合，可叠加使用。

关键理解点：权重衰减通过显式缩小权重值实现正则化，其效果取决于学习率与衰减系数的乘积ηλ，需要仔细平衡优化速度与正则化强度。