图论中的最短路径快速算法（SPFA） 题目描述 最短路径快速算法（Shortest Path Faster Algorithm，SPFA）是解决带权有向图（或无向图）中单源最短路径问题的一种算法。它是Bellman-Ford算法的一种优化版本，通过使用队列来避免不必要的松弛操作，从而在许多情况下（尤其是稀疏图）获得更好的平均时间复杂度。该算法能够处理带有负权边的图，但如果图中存在从源点可达的负权环，算法会检测到这一情况并报告问题。 核心概念 单源最短路径 ：从一个指定的源点出发，计算到图中所有其他顶点的最短路径距离。 松弛操作 ：对于图中的一条边(u, v)，权重为w，如果发现通过顶点u可以使得到达v的当前距离估计值变小，则更新该估计值。即如果 dist[v] > dist[u] + w(u, v) ，则设置 dist[v] = dist[u] + w(u, v) 。 负权环 ：一个总权重为负的环。如果存在从源点可达的负权环，则最短路径问题无解，因为可以无限次绕行该环使得路径总权任意小。 解题步骤 SPFA算法可以看作是BFS的改进，它使用一个队列来管理哪些顶点可能需要被松弛。 初始化 创建一个距离数组 dist[] ，大小为顶点数。将源点s的 dist[s] 初始化为0，其他所有顶点的 dist[] 初始化为一个很大的数（如无穷大）。 创建一个队列 Q ，初始时只包含源点s。 （可选）创建一个数组 inQueue[] 来标记顶点当前是否在队列中，避免重复入队。初始时，只有 inQueue[s] 为真。 （用于检测负环）创建一个数组 count[] 来记录每个顶点入队的次数。初始化为0。当某个顶点的入队次数超过顶点总数时，说明存在负权环。 主循环 只要队列 Q 不为空，就执行以下步骤： a. 出队 ：从队列 Q 中取出队首顶点 u ，并将其 inQueue[u] 标记为假。 b. 松弛邻接边 ：遍历顶点 u 的所有出边（即邻接顶点 v ）。对于每条边 (u, v) ，其权重为 w ，尝试进行松弛操作： 检查是否满足 dist[v] > dist[u] + w 。 如果满足，则更新 dist[v] = dist[u] + w 。 c. 判断入队 ：如果 v 的距离被更新了，并且 v 当前 不在 队列中（即 inQueue[v] 为假），则将 v 加入队列 Q 的末尾，并将 inQueue[v] 标记为真。同时，增加 v 的入队次数 count[v] += 1 。 d. 检测负环 ：如果 count[v] 超过了图中顶点的总数目 V ，则算法终止，并报告图中存在从源点可达的负权环。 终止与输出 当队列为空时，算法正常结束。此时 dist[] 数组中存储的就是从源点s到各顶点的最短路径距离（如果某个顶点的距离仍为初始的无穷大，则表示从s无法到达该顶点）。 如果在过程中因检测到负环而提前终止，则输出存在负权环的错误信息。 算法特点与复杂度 优点 ：在随机图或稀疏图上，平均时间复杂度往往优于Bellman-Ford算法的O(VE)，接近O(kE)，其中k是一个较小的常数。能处理负权边。 缺点 ：最坏情况下的时间复杂度仍为O(VE)，与Bellman-Ford相同。存在被特殊构造的数据使其性能退化的风险。 与Bellman-Ford的区别 ：Bellman-Ford算法会对所有边进行V-1轮松弛，而SPFA只对“可能更新其他顶点距离”的顶点（即其距离刚刚被更新的顶点）的邻接边进行松弛，减少了大量不必要的操作。