Rabin 公钥加密系统的解密过程与平方根问题

字数 2898 2025-11-01 15:29:06

Rabin 公钥加密系统的解密过程与平方根问题

题目描述：
Rabin 公钥加密系统是一种基于模数分解困难性的非对称加密算法，其安全性等价于大整数分解的难度。给定一个 Rabin 公钥加密系统的实例：

公钥为合数 \(n = p \times q\)（其中 \(p\) 和 \(q\) 是大素数，且 \(p \equiv q \equiv 3 \pmod{4}\)）；
私钥为 \((p, q)\)；
明文 \(m\) 满足 \(0 \leq m < n\)；
密文 \(c \equiv m^2 \pmod{n}\)。

若已知密文 \(c = 23\) 和公钥 \(n = 77\)，请演示如何通过私钥解密密文，恢复明文 \(m\)。要求详细说明解密过程中涉及的数学原理（如中国剩余定理和模平方根计算），并处理解密结果的多解性问题。

解题过程：

问题分析
Rabin 加密的核心是加密函数 \(c = m^2 \mod n\)，解密则需要解决模 \(n\) 下的平方根问题。由于 \(n\) 是合数，直接求平方根困难，但利用私钥 \((p, q)\) 可将问题分解为模 \(p\) 和模 \(q\) 的子问题。
密钥生成验证
给定 \(n = 77\)，需验证 \(p\) 和 \(q\) 满足 \(p \equiv q \equiv 3 \pmod{4}\)：
- 分解 \(n = 7 \times 11\)，检查 \(7 \mod 4 = 3\)，\(11 \mod 4 = 3\)，符合要求。
- 私钥为 \(p = 7\)，\(q = 11\)。
分解为模 \(p\) 和模 \(q\) 的子问题
解密需解方程 \(m^2 \equiv 23 \pmod{77}\)。利用中国剩余定理（CRT），转化为方程组：

\[ \begin{cases} m^2 \equiv 23 \pmod{7}, \\ m^2 \equiv 23 \pmod{11}. \end{cases} \]

计算模数下的简化：

\(23 \mod 7 = 2\)，故方程1为 \(m^2 \equiv 2 \pmod{7}\)；
\(23 \mod 11 = 1\)，故方程2为 \(m^2 \equiv 1 \pmod{11}\)。

求解模 \(p\) 和模 \(q\) 的平方根
- 模 \(p = 7\) 的平方根：
  解 \(m^2 \equiv 2 \pmod{7}\)。由于 \(p \equiv 3 \pmod{4}\)，平方根公式为 \(m \equiv \pm c^{(p+1)/4} \pmod{p}\)。
  计算 \(c^{(p+1)/4} = 2^{(7+1)/4} = 2^2 = 4\)。
  解得 \(m \equiv \pm 4 \pmod{7}\)，即 \(m \equiv 4\) 或 \(m \equiv 3 \pmod{7}\)（因为 \(-4 \equiv 3 \mod 7\)）。
- 模 \(q = 11\) 的平方根：
  解 \(m^2 \equiv 1 \pmod{11}\)。公式 \(c^{(q+1)/4} = 1^{(11+1)/4} = 1^3 = 1\)。
  解得 \(m \equiv \pm 1 \pmod{11}\)，即 \(m \equiv 1\) 或 \(m \equiv 10 \pmod{11}\)。
组合解 via 中国剩余定理
方程组共有 \(2 \times 2 = 4\) 种组合：
- 组合1：\(m \equiv 4 \pmod{7}\) 且 \(m \equiv 1 \pmod{11}\)。
  设 \(m = 7k + 4\)，代入第二式： \(7k + 4 \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow 7k \equiv -3 \equiv 8 \pmod{11}\)。
  求 \(7^{-1} \mod 11\)：因 \(7 \times 8 = 56 \equiv 1 \pmod{11}\)，逆元为 8。
  故 \(k \equiv 8 \times 8 = 64 \equiv 9 \pmod{11}\)，得 \(k = 9\)，\(m = 7 \times 9 + 4 = 67\)。
- 组合2：\(m \equiv 4 \pmod{7}\) 且 \(m \equiv 10 \pmod{11}\)。
  \(7k + 4 \equiv 10 \pmod{11} \Rightarrow 7k \equiv 6 \pmod{11} \Rightarrow k \equiv 8 \times 6 = 48 \equiv 4 \pmod{11}\)。
  得 \(k = 4\)，\(m = 7 \times 4 + 4 = 32\)。
- 组合3：\(m \equiv 3 \pmod{7}\) 且 \(m \equiv 1 \pmod{11}\)。
  \(7k + 3 \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow 7k \equiv -2 \equiv 9 \pmod{11} \Rightarrow k \equiv 8 \times 9 = 72 \equiv 6 \pmod{11}\)。
  得 \(k = 6\)，\(m = 7 \times 6 + 3 = 45\)。
- 组合4：\(m \equiv 3 \pmod{7}\) 且 \(m \equiv 10 \pmod{11}\)。
  \(7k + 3 \equiv 10 \pmod{11} \Rightarrow 7k \equiv 7 \pmod{11} \Rightarrow k \equiv 8 \times 7 = 56 \equiv 1 \pmod{11}\)。
  得 \(k = 1\)，\(m = 7 \times 1 + 3 = 10\)。
最终得到四个解：\(m \in \{10, 32, 45, 67\}\)。
多解性处理
Rabin 解密的四个解对应同一密文，需通过明文冗余（如添加特定填充）或上下文识别唯一有效解。本例中，若明文是数字文本，可能需额外验证其有效性（如是否在字符集范围内）。

总结：
Rabin 解密通过 CRT 将模 \(n\) 的平方根问题分解为模 \(p\) 和模 \(q\) 的子问题，利用模数形式 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 简化计算，但需处理多解性。本例中密文 \(c=23\) 对应明文可能为 \(10, 32, 45, 67\)。

Rabin 公钥加密系统的解密过程与平方根问题题目描述： Rabin 公钥加密系统是一种基于模数分解困难性的非对称加密算法，其安全性等价于大整数分解的难度。给定一个 Rabin 公钥加密系统的实例：公钥为合数 \( n = p \times q \)（其中 \( p \) 和 \( q \) 是大素数，且 \( p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} \)）；私钥为 \( (p, q) \)；明文 \( m \) 满足 \( 0 \leq m < n \)；密文 \( c \equiv m^2 \pmod{n} \)。若已知密文 \( c = 23 \) 和公钥 \( n = 77 \)，请演示如何通过私钥解密密文，恢复明文 \( m \)。要求详细说明解密过程中涉及的数学原理（如中国剩余定理和模平方根计算），并处理解密结果的多解性问题。解题过程：问题分析 Rabin 加密的核心是加密函数 \( c = m^2 \mod n \)，解密则需要解决模 \( n \) 下的平方根问题。由于 \( n \) 是合数，直接求平方根困难，但利用私钥 \( (p, q) \) 可将问题分解为模 \( p \) 和模 \( q \) 的子问题。密钥生成验证给定 \( n = 77 \)，需验证 \( p \) 和 \( q \) 满足 \( p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} \)：分解 \( n = 7 \times 11 \)，检查 \( 7 \mod 4 = 3 \)，\( 11 \mod 4 = 3 \)，符合要求。私钥为 \( p = 7 \)，\( q = 11 \)。分解为模 \( p \) 和模 \( q \) 的子问题解密需解方程 \( m^2 \equiv 23 \pmod{77} \)。利用中国剩余定理（CRT），转化为方程组： \[ \begin{cases} m^2 \equiv 23 \pmod{7}, \\ m^2 \equiv 23 \pmod{11}. \end{cases} \] 计算模数下的简化： \( 23 \mod 7 = 2 \)，故方程1为 \( m^2 \equiv 2 \pmod{7} \)； \( 23 \mod 11 = 1 \)，故方程2为 \( m^2 \equiv 1 \pmod{11} \)。求解模 \( p \) 和模 \( q \) 的平方根模 \( p = 7 \) 的平方根：解 \( m^2 \equiv 2 \pmod{7} \)。由于 \( p \equiv 3 \pmod{4} \)，平方根公式为 \( m \equiv \pm c^{(p+1)/4} \pmod{p} \)。计算 \( c^{(p+1)/4} = 2^{(7+1)/4} = 2^2 = 4 \)。解得 \( m \equiv \pm 4 \pmod{7} \)，即 \( m \equiv 4 \) 或 \( m \equiv 3 \pmod{7} \)（因为 \( -4 \equiv 3 \mod 7 \)）。模 \( q = 11 \) 的平方根：解 \( m^2 \equiv 1 \pmod{11} \)。公式 \( c^{(q+1)/4} = 1^{(11+1)/4} = 1^3 = 1 \)。解得 \( m \equiv \pm 1 \pmod{11} \)，即 \( m \equiv 1 \) 或 \( m \equiv 10 \pmod{11} \)。组合解 via 中国剩余定理方程组共有 \( 2 \times 2 = 4 \) 种组合：组合1 ：\( m \equiv 4 \pmod{7} \) 且 \( m \equiv 1 \pmod{11} \)。设 \( m = 7k + 4 \)，代入第二式： \( 7k + 4 \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow 7k \equiv -3 \equiv 8 \pmod{11} \)。求 \( 7^{-1} \mod 11 \)：因 \( 7 \times 8 = 56 \equiv 1 \pmod{11} \)，逆元为 8。故 \( k \equiv 8 \times 8 = 64 \equiv 9 \pmod{11} \)，得 \( k = 9 \)，\( m = 7 \times 9 + 4 = 67 \)。组合2 ：\( m \equiv 4 \pmod{7} \) 且 \( m \equiv 10 \pmod{11} \)。 \( 7k + 4 \equiv 10 \pmod{11} \Rightarrow 7k \equiv 6 \pmod{11} \Rightarrow k \equiv 8 \times 6 = 48 \equiv 4 \pmod{11} \)。得 \( k = 4 \)，\( m = 7 \times 4 + 4 = 32 \)。组合3 ：\( m \equiv 3 \pmod{7} \) 且 \( m \equiv 1 \pmod{11} \)。 \( 7k + 3 \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow 7k \equiv -2 \equiv 9 \pmod{11} \Rightarrow k \equiv 8 \times 9 = 72 \equiv 6 \pmod{11} \)。得 \( k = 6 \)，\( m = 7 \times 6 + 3 = 45 \)。组合4 ：\( m \equiv 3 \pmod{7} \) 且 \( m \equiv 10 \pmod{11} \)。 \( 7k + 3 \equiv 10 \pmod{11} \Rightarrow 7k \equiv 7 \pmod{11} \Rightarrow k \equiv 8 \times 7 = 56 \equiv 1 \pmod{11} \)。得 \( k = 1 \)，\( m = 7 \times 1 + 3 = 10 \)。最终得到四个解：\( m \in \{10, 32, 45, 67\} \)。多解性处理 Rabin 解密的四个解对应同一密文，需通过明文冗余（如添加特定填充）或上下文识别唯一有效解。本例中，若明文是数字文本，可能需额外验证其有效性（如是否在字符集范围内）。总结： Rabin 解密通过 CRT 将模 \( n \) 的平方根问题分解为模 \( p \) 和模 \( q \) 的子问题，利用模数形式 \( p \equiv 3 \pmod{4} \) 简化计算，但需处理多解性。本例中密文 \( c=23 \) 对应明文可能为 \( 10, 32, 45, 67 \)。