非线性规划中的混合罚函数法基础题
字数 2186 2025-11-01 15:29:06

非线性规划中的混合罚函数法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
约束条件为：

  1. \(g(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\) （不等式约束）
  2. \(h(x) = x_1^2 - x_2 = 0\) （等式约束）
    初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，容忍误差 \(\epsilon = 10^{-3}\)。
    要求使用混合罚函数法（结合外点罚函数和内点罚函数）求解该问题，并解释其优势。

解题过程

1. 混合罚函数法的基本思想

  • 外点罚函数法：通过添加罚项将约束问题转化为无约束问题，但初始点可能不可行。
  • 内点罚函数法：确保迭代点始终在可行域内，但需初始可行点。
  • 混合罚函数法：对等式约束和部分不等式约束使用外点罚函数，对严格不等式约束使用内点罚函数，兼顾可行性和收敛性。

2. 构造混合罚函数

  • 对于等式约束 \(h(x) = 0\)，使用外点罚函数：\(P_h(x) = [h(x)]^2\)。
  • 对于不等式约束 \(g(x) \leq 0\)，若当前点满足 \(g(x) < 0\)（可行），使用内点罚函数（如对数障碍函数）：\(P_g(x) = -\ln(-g(x))\)；若 \(g(x) > 0\)（不可行），使用外点罚函数：\(P_g(x) = [\max(0, g(x))]^2\)。
  • 混合罚函数形式为：

\[ \Phi(x, \mu, \sigma) = f(x) + \mu P_h(x) + \sigma P_g(x) \]

其中 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 为罚因子，随迭代增大（外点部分）或减小（内点部分）。

3. 针对本题的罚函数设计

  • 等式约束 \(h(x) = x_1^2 - x_2 = 0\)：始终用外点罚函数，\(P_h(x) = (x_1^2 - x_2)^2\)。
  • 不等式约束 \(g(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)：
    • 若 \(g(x) < 0\)（可行），用内点罚函数 \(P_g(x) = -\ln(2 - x_1 - x_2)\)。
    • 若 \(g(x) > 0\)（不可行），用外点罚函数 \(P_g(x) = (x_1 + x_2 - 2)^2\)。
  • 初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\) 验证：
    \(g(0,0) = -2 < 0\)（可行），因此初始阶段使用内点罚函数。
  • 混合罚函数为：

\[ \Phi(x, \mu, \sigma) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 + \mu (x_1^2 - x_2)^2 + \sigma \left[ -\ln(2 - x_1 - x_2) \right] \]

4. 迭代步骤

  • 步骤1：设置初始罚因子 \(\mu^{(0)} = 1\), \(\sigma^{(0)} = 1\)，初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)。
  • 步骤2：求解无约束子问题 \(\min \Phi(x, \mu^{(k)}, \sigma^{(k)})\)。
    • 例如，使用梯度下降法或牛顿法。以梯度下降为例：

\[ \nabla \Phi = \begin{bmatrix} 2(x_1 - 2) + 4\mu x_1 (x_1^2 - x_2) + \frac{\sigma}{2 - x_1 - x_2} \\ 2(x_2 - 1) - 2\mu (x_1^2 - x_2) + \frac{\sigma}{2 - x_1 - x_2} \end{bmatrix} \]

迭代更新 $ x^{(k+1)} = x^{(k)} - \alpha \nabla \Phi $，步长 $ \alpha $ 通过线搜索确定。
  • 步骤3：检查约束违反度 \(\|h(x)\|\) 和 \(\max(0, g(x))\)。若满足 \(\|h(x)\| < \epsilon\) 且 \(g(x) < \epsilon\)，停止迭代；否则调整罚因子：
    • 外点部分（等式约束）：\(\mu^{(k+1)} = 10 \mu^{(k)}\)（增大罚因子）。
    • 内点部分（不等式约束）：\(\sigma^{(k+1)} = \sigma^{(k)} / 10\)（减小罚因子，促使解趋向可行域边界）。
  • 步骤4：重复步骤2-3直至收敛。

5. 算法优势分析

  • 内点部分保证迭代点始终满足 \(g(x) < 0\)，避免外点法初期不可行的问题。
  • 外点部分处理等式约束，避免内点法对等式约束的局限性。
  • 混合法在可行域边界附近收敛更稳定，尤其适合含等式和不等式约束的问题。

6. 本题的预期结果

  • 解析解：通过拉格朗日法可求精确解 \(x^* = (1, 1)\)，\(f(x^*) = 1\)。
  • 混合罚函数法应能逼近该解，且由于初始点可行，内点罚函数可有效控制约束违反度。
非线性规划中的混合罚函数法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件为： \( g(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) （不等式约束） \( h(x) = x_ 1^2 - x_ 2 = 0 \) （等式约束） 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，容忍误差 \( \epsilon = 10^{-3} \)。 要求使用 混合罚函数法 （结合外点罚函数和内点罚函数）求解该问题，并解释其优势。 解题过程 1. 混合罚函数法的基本思想 外点罚函数法 ：通过添加罚项将约束问题转化为无约束问题，但初始点可能不可行。 内点罚函数法 ：确保迭代点始终在可行域内，但需初始可行点。 混合罚函数法 ：对等式约束和部分不等式约束使用外点罚函数，对严格不等式约束使用内点罚函数，兼顾可行性和收敛性。 2. 构造混合罚函数 对于等式约束 \( h(x) = 0 \)，使用外点罚函数：\( P_ h(x) = [ h(x) ]^2 \)。 对于不等式约束 \( g(x) \leq 0 \)，若当前点满足 \( g(x) < 0 \)（可行），使用内点罚函数（如对数障碍函数）：\( P_ g(x) = -\ln(-g(x)) \)；若 \( g(x) > 0 \)（不可行），使用外点罚函数：\( P_ g(x) = [ \max(0, g(x)) ]^2 \)。 混合罚函数形式为： \[ \Phi(x, \mu, \sigma) = f(x) + \mu P_ h(x) + \sigma P_ g(x) \] 其中 \( \mu \) 和 \( \sigma \) 为罚因子，随迭代增大（外点部分）或减小（内点部分）。 3. 针对本题的罚函数设计 等式约束 \( h(x) = x_ 1^2 - x_ 2 = 0 \)：始终用外点罚函数，\( P_ h(x) = (x_ 1^2 - x_ 2)^2 \)。 不等式约束 \( g(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \)： 若 \( g(x) < 0 \)（可行），用内点罚函数 \( P_ g(x) = -\ln(2 - x_ 1 - x_ 2) \)。 若 \( g(x) > 0 \)（不可行），用外点罚函数 \( P_ g(x) = (x_ 1 + x_ 2 - 2)^2 \)。 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \) 验证： \( g(0,0) = -2 < 0 \)（可行），因此初始阶段使用内点罚函数。 混合罚函数为： \[ \Phi(x, \mu, \sigma) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 + \mu (x_ 1^2 - x_ 2)^2 + \sigma \left[ -\ln(2 - x_ 1 - x_ 2) \right ] \] 4. 迭代步骤 步骤1 ：设置初始罚因子 \( \mu^{(0)} = 1 \), \( \sigma^{(0)} = 1 \)，初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)。 步骤2 ：求解无约束子问题 \( \min \Phi(x, \mu^{(k)}, \sigma^{(k)}) \)。 例如，使用梯度下降法或牛顿法。以梯度下降为例： \[ \nabla \Phi = \begin{bmatrix} 2(x_ 1 - 2) + 4\mu x_ 1 (x_ 1^2 - x_ 2) + \frac{\sigma}{2 - x_ 1 - x_ 2} \\ 2(x_ 2 - 1) - 2\mu (x_ 1^2 - x_ 2) + \frac{\sigma}{2 - x_ 1 - x_ 2} \end{bmatrix} \] 迭代更新 \( x^{(k+1)} = x^{(k)} - \alpha \nabla \Phi \)，步长 \( \alpha \) 通过线搜索确定。 步骤3 ：检查约束违反度 \( \|h(x)\| \) 和 \( \max(0, g(x)) \)。若满足 \( \|h(x)\| < \epsilon \) 且 \( g(x) < \epsilon \)，停止迭代；否则调整罚因子： 外点部分（等式约束）：\( \mu^{(k+1)} = 10 \mu^{(k)} \)（增大罚因子）。 内点部分（不等式约束）：\( \sigma^{(k+1)} = \sigma^{(k)} / 10 \)（减小罚因子，促使解趋向可行域边界）。 步骤4 ：重复步骤2-3直至收敛。 5. 算法优势分析 内点部分保证迭代点始终满足 \( g(x) < 0 \)，避免外点法初期不可行的问题。 外点部分处理等式约束，避免内点法对等式约束的局限性。 混合法在可行域边界附近收敛更稳定，尤其适合含等式和不等式约束的问题。 6. 本题的预期结果 解析解：通过拉格朗日法可求精确解 \( x^* = (1, 1) \)，\( f(x^* ) = 1 \)。 混合罚函数法应能逼近该解，且由于初始点可行，内点罚函数可有效控制约束违反度。