分块矩阵的Schur补方法在求解线性方程组中的应用

题目描述
考虑分块线性方程组 Ax = b，其中 A 是 n×n 矩阵，x 和 b 是 n 维向量。当 A 可以划分为 2×2 分块形式时，我们可以使用 Schur 补方法进行高效求解。具体形式如下：

A = [A₁₁  A₁₂]   x = [x₁]   b = [b₁]
    [A₂₁  A₂₂]       [x₂]       [b₂]

其中 A₁₁ 是 p×p 子矩阵，A₂₂ 是 q×q 子矩阵（p+q = n），A₁₂ 是 p×q，A₂₁ 是 q×p。当 A₁₁ 可逆时，Schur 补方法提供了一种分块求解策略。

解题过程

第一步：理解分块矩阵方程
将原方程按分块形式展开：

A₁₁x₁ + A₁₂x₂ = b₁  (1)
A₂₁x₁ + A₂₂x₂ = b₂  (2)

我们的目标是通过分块消元法求解 x₁ 和 x₂。

第二步：构造 Schur 补
从方程(1)解出 x₁（假设 A₁₁ 可逆）：

x₁ = A₁₁⁻¹(b₁ - A₁₂x₂)  (3)

将(3)代入方程(2)：

A₂₁[A₁₁⁻¹(b₁ - A₁₂x₂)] + A₂₂x₂ = b₂

整理得：

A₂₁A₁₁⁻¹b₁ - A₂₁A₁₁⁻¹A₁₂x₂ + A₂₂x₂ = b₂

合并 x₂ 项：

(A₂₂ - A₂₁A₁₁⁻¹A₁₂)x₂ = b₂ - A₂₁A₁₁⁻¹b₁

这里 S = A₂₂ - A₂₁A₁₁⁻¹A₁₂ 称为 Schur 补。

第三步：求解 x₂
令 c = b₂ - A₂₁A₁₁⁻¹b₁，则方程简化为：

Sx₂ = c

如果 Schur 补 S 可逆，我们可以直接求解：

x₂ = S⁻¹c = (A₂₂ - A₂₁A₁₁⁻¹A₁₂)⁻¹(b₂ - A₂₁A₁₁⁻¹b₁)

第四步：回代求解 x₁
将求得的 x₂ 代入方程(3)：

x₁ = A₁₁⁻¹(b₁ - A₁₂x₂)

这样就完成了整个方程组的求解。

第五步：算法步骤总结

1. 验证 A₁₁ 可逆，计算 A₁₁⁻¹
2. 计算 Schur 补 S = A₂₂ - A₂₁A₁₁⁻¹A₁₂
3. 计算修正项 c = b₂ - A₂₁A₁₁⁻¹b₁
4. 求解 Sx₂ = c 得到 x₂
5. 回代计算 x₁ = A₁₁⁻¹(b₁ - A₁₂x₂)

应用价值
这种方法在以下场景特别有用：

• A₁₁ 是易于求逆的特殊矩阵（如对角矩阵、三角矩阵）
• 分块结构允许并行计算 A₁₁⁻¹A₁₂ 等乘积
• 问题规模较大时，分块求解比直接求解整个系统更高效

数值稳定性考虑
当 A₁₁ 条件数很大时，需要谨慎使用。有时需要对整个矩阵进行重排序（如使用AMD、METIS等排序算法）来选择数值性质更好的分块结构。