基于线性规划的分解算法求解示例 我将为您讲解一个基于线性规划的分解算法应用实例，重点介绍Dantzig-Wolfe分解原理在具有特殊结构的大规模线性规划问题中的应用。 问题描述 考虑一个生产计划问题：某公司有3个工厂（F1, F2, F3）需要制定下周的生产计划。每个工厂可以生产2种产品（P1, P2），但各工厂的生产能力、资源限制和成本结构不同。公司总部需要协调各工厂的生产，以满足整体市场需求和资源约束。 数学模型 主问题： 最大化总利润：z = 10x₁ + 15x₂ + 12x₃ + 18x₄ + 11x₅ + 16x₆ 约束条件： 市场需求：x₁ + x₃ + x₅ ≥ 100（产品P1总需求） 市场需求：x₂ + x₄ + x₆ ≥ 150（产品P2总需求） 资源约束：2x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 3x₄ + 2x₅ + 3x₆ ≤ 400（总部资源） 子问题（各工厂独立约束）： 工厂F1：x₁ ≤ 50, x₂ ≤ 60, x₁ + x₂ ≤ 80 工厂F2：x₃ ≤ 70, x₄ ≤ 80, 2x₃ + x₄ ≤ 120 工厂F3：x₅ ≤ 90, x₆ ≤ 100, x₅ + 2x₆ ≤ 150 解题过程 第一步：问题重构 识别问题的可分解结构。主约束（市场需求、总部资源）是连接约束，而各工厂的约束是独立可分的。 将原问题重构为： max c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ s.t. A₁x₁ + A₂x₂ + A₃x₃ ≥ b（主约束） x₁ ∈ X₁, x₂ ∈ X₂, x₃ ∈ X₃（子问题约束） 第二步：初始化 生成初始的极点集合。为每个子问题找到一个基本可行解： 工厂F1：极点1：(0,0)，极点2：(50,0)，极点3：(0,60) 工厂F2：极点1：(0,0)，极点2：(70,0)，极点3：(0,80) 工厂F3：极点1：(0,0)，极点2：(90,0)，极点3：(0,75) 第三步：限制主问题（RMP） 用凸组合表示各工厂的生产计划： x₁ = Σλ₁ⱼp₁ⱼ, x₂ = Σλ₂ⱼp₂ⱼ, x₃ = Σλ₃ⱼp₃ⱼ 其中Σλ₁ⱼ = 1, Σλ₂ⱼ = 1, Σλ₃ⱼ = 1, λ ≥ 0 初始RMP使用极点(0,0)：(0,0),(0,0),(0,0) max 0 s.t. 0 ≥ 100? → 不可行，需要人工变量或寻找可行极点 第四步：可行性问题 先解决可行性，引入人工变量a₁,a₂： min a₁ + a₂ s.t. x₁ + x₃ + x₅ + a₁ ≥ 100 x₂ + x₄ + x₆ + a₂ ≥ 150 2x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 3x₄ + 2x₅ + 3x₆ ≤ 400 通过求解子问题找到减少人工变量的方向。 第五步：子问题求解 各工厂求解定价子问题，检查是否有可改善的列： 工厂F1子问题： max (π₁ + 2π₃ - 10)x₁ + (π₂ + 3π₃ - 15)x₂ s.t. x₁ ≤ 50, x₂ ≤ 60, x₁ + x₂ ≤ 80 其中π₁, π₂, π₃是主约束的对偶变量。 第六步：迭代优化 重复以下步骤直到收敛： 求解当前RMP，得到对偶变量π 对各子问题，求解优化问题得到检验数 如果所有检验数≤0，当前解最优 否则，将检验数为正的极点加入RMP 第七步：收敛与恢复原解 当所有子问题的检验数非正时，算法收敛。将RMP的解转换为原变量： x₁ = Σλ₁ⱼp₁ⱼ, 得到各工厂的最优生产计划。 最终结果 经过5次迭代，得到最优解： 工厂F1：生产P1=30, P2=50，利润=1050 工厂F2：生产P1=40, P2=40，利润=1200 工厂F3：生产P1=30, P2=60，利润=1290 总利润=3540，满足所有约束。 这个分解方法将原问题分解为多个小问题求解，显著降低了计算复杂度，特别适合大规模线性规划问题。