基于Krylov子空间的IDR(s)算法解非对称线性方程组 我将为您详细讲解IDR(s)算法，这是一种高效求解大型稀疏非对称线性方程组的迭代方法。 问题描述 我们需要求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是 n×n 的非对称矩阵（可能还是不定矩阵），b 是已知向量。当矩阵 A 规模很大且稀疏时，直接法求解成本过高，需要采用迭代法。 算法原理 IDR(s)（Induced Dimension Reduction）算法的核心思想是通过在嵌套的子空间序列中寻找解，这些子空间维度每次减少 s。算法结合了短递推和局部最小化思想，具有内存效率高和收敛速度快的优点。 详细解题步骤 步骤1：算法初始化 选择参数 s：决定降维步长，通常取 2-8 初始猜测 x₀：可设为零向量或根据问题特点选择 计算初始残差 r₀ = b - Ax₀ 生成 s 个线性无关的 n 维向量 P = [ p₁, p₂, ..., p₍s₎ ] 作为测试矩阵 步骤2：主循环结构 算法采用外循环和内循环的双重结构： 外循环（k=0,1,2,...）：对应维度降低的步骤 内循环（j=1,2,...,s）：在当前维度子空间内迭代 步骤3：单个外循环的详细过程 子步骤3.1：初始化内循环 对于第 k 个外循环： 当前解近似：x₍k,0₎ = xₖ 当前残差：r₍k,0₎ = rₖ 设置辅助向量 Gₖ = [ g₍k,1₎, ..., g₍k,s₎ ] 用于存储方向信息 子步骤3.2：内循环迭代（j=1 to s） 对于每个 j： 求解小规模线性系统 ： Pᵀv = Pᵀr₍k,j-1₎，其中 v 是临时向量 这实际上是一个 s×s 的线性系统，计算量很小 计算新的搜索方向 ： g₍k,j₎ = v - ∑₍i=1₎ᵏ⁻¹ α₍i,j₎g₍i,j₎ 这里使用短递推，只保留最近几组方向向量 更新解和残差 ： x₍k,j₎ = x₍k,j-1₎ + α₍k,j₎g₍k,j₎ r₍k,j₎ = r₍k,j-1₎ - α₍k,j₎Ag₍k,j₎ 其中 α₍k,j₎ 通过局部最小化 ‖r₍k,j₎‖ 确定 子步骤3.3：内循环结束处理 当完成 s 次内循环后： 更新全局解：xₖ₊₁ = x₍k,s₎ 更新全局残差：rₖ₊₁ = r₍k,s₎ 检查收敛条件：如果 ‖rₖ₊₁‖ < ε（预设容差），则算法终止 步骤4：关键技术细节 测试矩阵 P 的选择 P 的列向量应线性无关，常见选择策略： 随机生成（最常用） 根据矩阵 A 的特征选择 使用标准基向量 收敛性保障 IDR(s) 理论上在有限步内收敛（最多 n/s 个外循环），实际中因舍入误差可能需更多迭代。 内存优化 算法只需存储有限数量的向量，内存需求为 O(sn)，适合大规模问题。 算法特点总结 适用于一般非对称矩阵 内存效率高（与 s 成正比） 通常比GMRES等算法收敛更快 数值稳定性良好 通过这种嵌套子空间降维的策略，IDR(s) 在保持数值稳定性的同时，实现了高效的非对称线性方程组求解。