SM4分组密码算法的轮函数设计
字数 1765 2025-11-01 09:19:03
SM4分组密码算法的轮函数设计
题目描述
SM4是中国国家密码管理局发布的分组密码算法，用于数据加密。其分组长度为128位，密钥长度也为128位，采用32轮非线性迭代结构。轮函数是SM4的核心组成部分，负责在每轮中对128位的数据分组进行混淆和扩散。本题要求详细分析SM4轮函数的构造、每一步的数学操作及其在安全性中的作用。
解题过程
1. 轮函数的整体结构
- SM4的轮函数操作作用于128位数据分组，该分组被划分为4个32位字（\(X_0, X_1, X_2, X_3\)）。
- 每轮输入为当前轮数\(r\)（0 ≤ r ≤ 31）的4个字，输出为更新后的4个字。轮函数的核心是非线性变换τ和线性变换L，结合轮密钥\(RK_r\)（32位）实现加密。
- 轮函数的数学表达式为：
\[ X_{r+4} = X_r \oplus T(X_{r+1} \oplus X_{r+2} \oplus X_{r+3} \oplus RK_r) \]
其中，\(T\)为合成变换\(T(·) = L(τ(·))\)，\(\oplus\)表示32位异或运算。
2. 非线性变换τ
- τ由4个并行的8输入-8输出的S盒构成。输入32位字\(A = (a_0, a_1, a_2, a_3)\)（每个\(a_i\)为8位），输出32位字\(B = (b_0, b_1, b_2, b_3)\)，满足：
\[ b_i = S(a_i), \quad i=0,1,2,3 \]
- S盒设计：SM4的S盒采用有限域\(GF(2^8)\)上的仿射变换和乘法逆元组合而成。具体步骤：
- 计算输入字节\(a\)在\(GF(2^8)\)（不可约多项式为\(x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + 1\)）的乘法逆元（若\(a=0\)则逆元为0）。
- 对逆元结果进行仿射变换：
\[ b = M \cdot a^{-1} \oplus c \]
其中$M$为8×8矩阵，$c$为常数向量（十六进制值为0x63）。
- 安全性作用：S盒提供非线性特性，抵抗差分密码分析和线性密码分析。
3. 线性变换L
- L作用于非线性变换τ的输出\(B\)，生成32位字\(C = L(B)\)：
\[ C = B \oplus (B \lll 2) \oplus (B \lll 10) \oplus (B \lll 18) \oplus (B \lll 24) \]
其中\(\lll\)表示循环左移。
- 数学验证：以输入\(B=0x12345678\)为例（仅为演示）：
- 计算各移位结果：
\(B \lll 2 = 0x48D159E0\)，
\(B \lll 10 = 0x34567812\)，
\(B \lll 18 = 0x56781234\)，
\(B \lll 24 = 0x78123456\)。 - 异或求和：
\(C = 0x12345678 \oplus 0x48D159E0 \oplus 0x34567812 \oplus 0x56781234 \oplus 0x78123456\)。
- 计算各移位结果：
- 安全性作用：L通过多位移位异或实现位扩散，确保单比特变化影响多个输出位。
4. 轮密钥参与方式
- 每轮的轮密钥\(RK_r\)与数据字异或：
\[ \text{输入到τ的值} = X_{r+1} \oplus X_{r+2} \oplus X_{r+3} \oplus RK_r \]
- 轮密钥由密钥扩展算法生成（本题不展开），确保每轮密钥不同，增强抵抗相关密钥攻击的能力。
5. 轮函数的迭代效果
- 32轮迭代后，输出密文为\((X_{35}, X_{34}, X_{33}, X_{32})\)（最后需反序）。
- 安全性分析：
- 非线性变换τ和线性变换L的复合提供混淆和扩散，满足香农密码学原则。
- 32轮设计可抵抗已知攻击（如差分攻击需\(2^{118}\)次操作，远高于暴力破解的\(2^{128}\)）。
总结
SM4轮函数通过S盒非线性变换和多位移位线性变换的紧密结合，确保算法在面对现代密码分析时的安全性。每一步设计均针对抵抗差分、线性及代数攻击而优化。