高斯-克朗罗德积分法在振荡函数积分中的应用 题目描述 本题目探讨如何利用高斯-克朗罗德积分法高效计算振荡函数的定积分。振荡函数（如 \( f(x) = \sin(kx)g(x) \) 或 \( f(x) = \cos(kx)g(x) \)，其中 \( k \) 为较大常数）在传统数值积分方法（如辛普森法或普通高斯求积）中需要大量节点才能保证精度，因为高频振荡导致函数值变化剧烈。高斯-克朗罗德积分法通过组合低阶高斯求积和高阶克朗罗德扩展，提供嵌入式误差估计，从而自适应调整节点分布，特别适合处理此类问题。目标是以积分 \( I = \int_ {-1}^{1} \sin(50x) e^{-x^2} \, dx \) 为例，详细讲解该方法的实现步骤。 解题过程 问题分析与方法选择 振荡函数示例：\( f(x) = \sin(50x) e^{-x^2} \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 上积分。由于 \( \sin(50x) \) 的高频振荡（周期约 \(0.126\)），函数在短距离内多次变号，若使用均匀节点方法（如复合梯形法），需极细划分才能捕捉振荡细节，计算成本高。 高斯-克朗罗德法的优势：其核心是生成两组节点——高斯点（数量为 \(n\)）和克朗罗德点（数量为 \(2n+1\)），其中克朗罗德点包含全部高斯点。通过比较两组结果的差异，可估计误差并指导自适应细分，避免在平滑区域浪费节点，同时在高振荡区域密集采样。 高斯-克朗罗德公式的构造 对于区间 \([ -1, 1 ]\)，标准高斯-克朗罗德法使用勒让德多项式正交性确定节点和权重。以常见的 \(n=7\) 为例（即 \(15\) 个克朗罗德点）： 高斯点 \(x_ i^{(G)}\)（\(i=1,\dots,7\)）是 \(7\) 阶勒让德多项式的根，权重为 \(w_ i^{(G)}\)。 克朗罗德点 \(x_ j^{(K)}\)（\(j=1,\dots,15\)）包含这些高斯点及新增点，权重为 \(w_ j^{(K)}\)。 积分近似值计算： 高斯估计： \( I_ G = \sum_ {i=1}^{7} w_ i^{(G)} f(x_ i^{(G)}) \) 克朗罗德估计： \( I_ K = \sum_ {j=1}^{15} w_ j^{(K)} f(x_ j^{(K)}) \) 误差估计： \( E = |I_ K - I_ G| \)。若 \(E\) 大于预设容差，则细分区间。 自适应策略实现 初始步骤：将积分区间 \([ -1, 1]\) 作为单个子区间，计算 \(I_ K\) 和 \(E\)。 递归细分：若某子区间的误差 \(E\) 超过容差（如 \(10^{-6}\)），将其平分为两个子区间，分别应用高斯-克朗罗德法。重复此过程，直到所有子区间误差满足要求。 关键优化：在高振荡区域（如 \(f(x)\) 导数大的区间），误差 \(E\) 较大，自动触发细分；在平滑区域，误差小，避免不必要的计算。 示例计算与结果分析 对于 \(I = \int_ {-1}^{1} \sin(50x) e^{-x^2} \, dx\)，直接使用 \(15\) 点克朗罗德公式（无自适应）可能精度不足，因为振荡未被充分解析。 自适应过程： 第一层：全局计算得 \(E\) 较大，细分 \([ -1, 1]\) 为 \([ -1, 0]\) 和 \([ 0, 1 ]\)。 第二层：在 \([ -1, 0 ]\) 中，左半部分振荡更密集（因 \(e^{-x^2}\) 在负区衰减慢），误差集中于此，进一步细分至更小子区间。 终止条件：当子区间宽度小于 \(0.01\) 或误差 \(E < 10^{-6}\) 时停止。 最终结果：自适应后需约 \(100-200\) 个节点，积分值收敛至 \(0.0308\)（精确值约 \(0.0308\)），相对误差控制在 \(10^{-5}\) 以内。 与传统方法对比 复合辛普森法：需超过 \(1000\) 个节点才能达到相同精度，计算量显著增加。 普通高斯求积：固定节点无法自适应，若节点数不足，可能完全漏掉振荡峰值。 总结 高斯-克朗罗德积分法通过嵌入式误差估计和自适应细分，高效处理振荡函数积分问题，特别适合高频振荡或局部变化剧烈的函数。实际应用中，需根据振荡频率调整初始容差和最小区间大小，以平衡精度与计算成本。