高斯-勒让德求积公式在带权函数积分中的变换技巧

字数 2212 2025-11-01 09:19:03

高斯-勒让德求积公式在带权函数积分中的变换技巧

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{-1}^{1} f(x) \sqrt{1-x^2} \, dx\)，其中 \(f(x) = e^{-x^2}\)。要求利用高斯-勒让德求积公式结合变换技巧求解该带权积分，并分析变换后积分的节点与权重处理方式。

解题过程

1. 问题分析
原积分包含权函数 \(w(x) = \sqrt{1-x^2}\)，而标准高斯-勒让德求积公式的权函数为常数 1（适用于积分 \(\int_{-1}^{1} g(x) \, dx\)）。直接应用高斯-勒让德公式会忽略权函数，导致误差。需通过变量变换将带权积分转化为标准形式。

2. 变换技巧原理
高斯-切比雪夫（第二类）求积公式专门处理权函数 \(\sqrt{1-x^2}\) 的积分，其节点为切比雪夫多项式的零点，权重为常数。具体步骤：

令 \(x = \cos\theta\)，则 \(dx = -\sin\theta \, d\theta\)，积分区间变为 \([0, \pi]\)。
代入原积分：

\[ I = \int_{-1}^{1} f(x) \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_{\pi}^{0} f(\cos\theta) \sqrt{1-\cos^2\theta} (-\sin\theta) \, d\theta. \]

利用 \(\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sin\theta\)（在 \([0, \pi]\) 上非负），化简为：

\[ I = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta \, d\theta. \]

3. 应用高斯-切比雪夫（第二类）公式
积分 \(\int_{0}^{\pi} h(\theta) \sin^2\theta \, d\theta\) 的标准高斯-切比雪夫（第二类）公式为：

\[\int_{0}^{\pi} h(\theta) \sin^2\theta \, d\theta \approx \frac{\pi}{n+1} \sum_{k=1}^{n} \sin^2\left( \frac{k\pi}{n+1} \right) h\left( \frac{k\pi}{n+1} \right), \]

其中节点 \(\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}\)，权重 \(w_k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\theta_k\)。
本例中 \(h(\theta) = f(\cos\theta) = e^{-\cos^2\theta}\)，因此：

\[I \approx \frac{\pi}{n+1} \sum_{k=1}^{n} \sin^2\left( \frac{k\pi}{n+1} \right) e^{-\cos^2\left( \frac{k\pi}{n+1} \right)}. \]

4. 节点与权重的计算

节点：在 \(\theta\)-空间中等间距分布，但需映射回 \(x\)-空间：
\(x_k = \cos\theta_k = \cos\left( \frac{k\pi}{n+1} \right)\)。
权重：直接使用 \(w_k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\theta_k\)，无需额外调整。

5. 数值验证（以 n=4 为例）
计算节点和权重：

\(n=4\) 时，\(\theta_k = \frac{k\pi}{5}\)（k=1,2,3,4），即 \(\theta_k = 36^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 144^\circ\)。
\(x_k = \cos\theta_k \approx [0.8090, 0.3090, -0.3090, -0.8090]\)。
权重 \(w_k = \frac{\pi}{5} \sin^2\theta_k \approx [0.370, 0.533, 0.533, 0.370]\)。
代入公式：

\[I \approx \sum_{k=1}^{4} w_k \cdot e^{-x_k^2} \approx 0.370 e^{-0.6545} + 0.533 e^{-0.0955} + 0.533 e^{-0.0955} + 0.370 e^{-0.6545} \approx 1.211. \]

（注：精确值可用特殊函数表示，此处仅演示方法。）

6. 与直接高斯-勒让德法的对比
若错误地直接使用高斯-勒让德公式计算 \(\int_{-1}^{1} e^{-x^2} \, dx\)，会忽略权函数 \(\sqrt{1-x^2}\)，导致结果完全错误。本例展示了通过变换将非标准权函数积分转化为标准形式的重要性。

总结
对于带权函数 \(\sqrt{1-x^2}\) 的积分，应优先选择高斯-切比雪夫（第二类）公式，或通过三角变换将积分转化为等价的带常数权形式，再应用对应的高斯求积公式。

高斯-勒让德求积公式在带权函数积分中的变换技巧题目描述计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \sqrt{1-x^2} \, dx \)，其中 \( f(x) = e^{-x^2} \)。要求利用高斯-勒让德求积公式结合变换技巧求解该带权积分，并分析变换后积分的节点与权重处理方式。解题过程 1. 问题分析原积分包含权函数 \( w(x) = \sqrt{1-x^2} \)，而标准高斯-勒让德求积公式的权函数为常数 1（适用于积分 \( \int_ {-1}^{1} g(x) \, dx \)）。直接应用高斯-勒让德公式会忽略权函数，导致误差。需通过变量变换将带权积分转化为标准形式。 2. 变换技巧原理高斯-切比雪夫（第二类）求积公式专门处理权函数 \( \sqrt{1-x^2} \) 的积分，其节点为切比雪夫多项式的零点，权重为常数。具体步骤：令 \( x = \cos\theta \)，则 \( dx = -\sin\theta \, d\theta \)，积分区间变为 \( [ 0, \pi ] \)。代入原积分： \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_ {\pi}^{0} f(\cos\theta) \sqrt{1-\cos^2\theta} (-\sin\theta) \, d\theta. \] 利用 \( \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sin\theta \)（在 \( [ 0, \pi ] \) 上非负），化简为： \[ I = \int_ {0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta \, d\theta. \] 3. 应用高斯-切比雪夫（第二类）公式积分 \( \int_ {0}^{\pi} h(\theta) \sin^2\theta \, d\theta \) 的标准高斯-切比雪夫（第二类）公式为： \[ \int_ {0}^{\pi} h(\theta) \sin^2\theta \, d\theta \approx \frac{\pi}{n+1} \sum_ {k=1}^{n} \sin^2\left( \frac{k\pi}{n+1} \right) h\left( \frac{k\pi}{n+1} \right), \] 其中节点 \( \theta_ k = \frac{k\pi}{n+1} \)，权重 \( w_ k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\theta_ k \)。本例中 \( h(\theta) = f(\cos\theta) = e^{-\cos^2\theta} \)，因此： \[ I \approx \frac{\pi}{n+1} \sum_ {k=1}^{n} \sin^2\left( \frac{k\pi}{n+1} \right) e^{-\cos^2\left( \frac{k\pi}{n+1} \right)}. \] 4. 节点与权重的计算节点：在 \( \theta \)-空间中等间距分布，但需映射回 \( x \)-空间： \( x_ k = \cos\theta_ k = \cos\left( \frac{k\pi}{n+1} \right) \)。权重：直接使用 \( w_ k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\theta_ k \)，无需额外调整。 5. 数值验证（以 n=4 为例）计算节点和权重： \( n=4 \) 时，\( \theta_ k = \frac{k\pi}{5} \)（k=1,2,3,4），即 \( \theta_ k = 36^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 144^\circ \)。 \( x_ k = \cos\theta_ k \approx [ 0.8090, 0.3090, -0.3090, -0.8090 ] \)。权重 \( w_ k = \frac{\pi}{5} \sin^2\theta_ k \approx [ 0.370, 0.533, 0.533, 0.370 ] \)。代入公式： \[ I \approx \sum_ {k=1}^{4} w_ k \cdot e^{-x_ k^2} \approx 0.370 e^{-0.6545} + 0.533 e^{-0.0955} + 0.533 e^{-0.0955} + 0.370 e^{-0.6545} \approx 1.211. \] （注：精确值可用特殊函数表示，此处仅演示方法。） 6. 与直接高斯-勒让德法的对比若错误地直接使用高斯-勒让德公式计算 \( \int_ {-1}^{1} e^{-x^2} \, dx \)，会忽略权函数 \( \sqrt{1-x^2} \)，导致结果完全错误。本例展示了通过变换将非标准权函数积分转化为标准形式的重要性。总结对于带权函数 \( \sqrt{1-x^2} \) 的积分，应优先选择高斯-切比雪夫（第二类）公式，或通过三角变换将积分转化为等价的带常数权形式，再应用对应的高斯求积公式。