列生成算法在电力系统经济调度问题中的应用示例 我将为您详细讲解列生成算法如何应用于电力系统经济调度问题，包括问题描述、数学模型构建、列生成原理和完整求解过程。 问题描述 电力系统经济调度是电力系统运行中的核心问题，目标是在满足电力负荷需求和系统运行约束的前提下，合理安排各发电机组的出力，使得总发电成本最小。 问题要素： 时间周期：T个时段（如24小时） 发电机组集合：I = {1,2,...,m}，每个机组有特定的发电成本函数 负荷需求：D_ t表示第t时段的电力需求 机组约束：最小出力P_ min_ i、最大出力P_ max_ i、爬坡速率限制等 系统约束：旋转备用、网络传输限制等 数学模型构建 传统紧凑模型： 设x_ it为机组i在时段t的发电量，c_ i(x_ it)为发电成本函数。 目标函数：min Σ_ {t=1}^T Σ_ {i=1}^m c_ i(x_ it) 约束条件： 功率平衡：Σ_ {i=1}^m x_ it = D_ t, ∀t 出力限制：P_ min_ i ≤ x_ it ≤ P_ max_ i, ∀i,t 爬坡约束：|x_ it - x_ i(t-1)| ≤ R_ i, ∀i,t 问题挑战： 当机组数量多、时段长时，问题规模巨大，直接求解困难。 列生成算法应用 Dantzig-Wolfe分解思路： 将原问题分解为： 主问题：协调各机组的发电计划，确保满足负荷需求 子问题：为每个机组寻找最优的发电曲线 主问题建模： 对每个机组i，考虑其所有可行的发电计划（列）集合Ω_ i。 令λ_ ik表示机组i采用第k个发电计划的权重（0 ≤ λ_ ik ≤ 1），c_ ik为对应成本。 主问题： min Σ_ i Σ_ {k∈Ω_ i} c_ ik λ_ ik s.t. Σ_ i Σ_ {k∈Ω_ i} x_ ikt λ_ ik = D_ t, ∀t （功率平衡） Σ_ {k∈Ω_ i} λ_ ik = 1, ∀i （凸组合约束） λ_ ik ≥ 0, ∀i,k 限制性主问题： 初始只包含每个机组的少量可行列，通过迭代添加改进列。 列生成求解过程 步骤1：初始化 为每个机组生成初始可行列（如恒定出力在P_ min_ i和P_ max_ i之间） 步骤2：求解限制性主问题 求解当前列集合构成的主问题，得到最优解λ* 和对偶变量： π_ t：各时段功率平衡约束的对偶变量（电价信号） μ_ i：凸组合约束的对偶变量 步骤3：定价子问题（列生成） 对每个机组i，求解： min c_ i(x) - Σ_ t π_ t x_ t - μ_ i s.t. 机组i的技术约束（出力限制、爬坡等） 这相当于寻找 reduced cost 为负的列。 具体求解： 子问题是最短路径问题，可用动态规划求解： 状态：时段t的出力水平p 价值函数：V_ t(p) = min[ V_ {t-1}(p') + c_ i(p) - π_ t p + 转移成本 ] 约束：爬坡限制|p - p'| ≤ R_ i 步骤4：终止判断 如果所有子问题的 reduced cost ≥ 0（即无负检验数），当前解是最优解。 否则，将 reduced cost 为负的列加入主问题，返回步骤2。 数值示例 考虑2个机组、3时段的简化问题： 机组1：P_ min=10MW, P_ max=30MW, 成本系数2$/MWh 机组2：P_ min=5MW, P_ max=20MW, 成本系数3$/MWh 负荷：D1=25MW, D2=30MW, D3=20MW 迭代过程： 迭代1： 初始列：机组1[ 10,10,10]，机组2[ 5,5,5 ] 求解主问题，得对偶变量π=[ 2.5,3,2 ] 子问题求新列：机组1最优列[ 10,20,10 ]，reduced cost = -5（为负） 加入新列 迭代2： 求解扩展主问题，得新对偶变量 子问题reduced cost均≥0，达到最优 最终解： 机组1：[ 15,20,10]，机组2：[ 10,10,10 ] 总成本：2×(15+20+10) + 3×(10+10+10) = 90 + 90 = 180 算法优势 内存效率 ：只维护活跃列，避免存储完整变量集 分解协调 ：将大问题分解为小规模主问题和并行子问题 延迟列生成 ：仅在实际需要时生成列 经济解释 ：对偶变量π_ t反映各时段边际电价 该算法特别适合解决大规模电力系统经济调度问题，在实际电力市场运营中得到广泛应用。