好的，我们来看 LeetCode 第 208 题：实现 Trie (前缀树)。

题目描述

Trie（发音类似 "try"）或者说 前缀树 是一种树形数据结构，用于高效地存储和检索字符串数据集中的键。这一数据结构有相当多的应用情景，例如自动补全和拼写检查。

请你实现 Trie 类：

• Trie() 初始化前缀树对象。
• void insert(String word) 向前缀树中插入字符串 word。
• boolean search(String word) 如果字符串 word 在前缀树中，返回 true（即，在插入之后已经存在）；否则，返回 false。
• boolean startsWith(String prefix) 如果之前已经插入的字符串 word 的前缀之一为 prefix，返回 true；否则，返回 false。

解题思路

1. 理解 Trie 的结构

Trie 是一棵多叉树，每个节点包含：

• 一个指向子节点的指针数组（长度 26，对应 26 个小写英文字母）。
• 一个布尔值 isEnd，表示该节点是否是某个单词的结束节点（即从根节点到该节点的路径构成了一个完整的单词）。

例如，插入 "apple" 后，Trie 的结构如下（* 表示 isEnd = true）：

根节点
  -> a -> p -> p -> l -> e*

再插入 "app"：

根节点
  -> a -> p -> p* -> l -> e*

app 的最后一个 p 的 isEnd 为 true，表示 "app" 也是一个完整单词。

2. 设计 Trie 节点类

我们可以先定义节点结构：

• children: 大小为 26 的数组，初始为 null。
• isEnd: 标记单词结束。

3. 插入操作

从根节点开始，对于要插入的字符串 word 的每个字符：

1. 计算字符 ch 在 children 中的索引：index = ch - 'a'。
2. 如果当前节点的 children[index] 为 null，则新建一个节点并指向它。
3. 移动到子节点，继续处理下一个字符。
4. 处理完最后一个字符后，将当前节点的 isEnd 设为 true。

例子：插入 "and"：

• 根节点：children['a'-'a'] 新建节点 A。
• 节点 A：children['n'-'a'] 新建节点 N。
• 节点 N：children['d'-'a'] 新建节点 D。
• 节点 D：isEnd = true。

4. 搜索操作

从根节点开始，对于 word 的每个字符：

1. 计算索引 index = ch - 'a'。
2. 如果 children[index] 为 null，说明 Trie 中不存在该单词，返回 false。
3. 否则移动到子节点。
4. 处理完所有字符后，检查当前节点的 isEnd 是否为 true（确保是完整单词，而不是前缀）。

5. 搜索前缀操作

与 search 类似，但不需要检查 isEnd，只要路径上的每个字符都存在，就返回 true。

代码实现（Java）

class Trie {
    private Trie[] children;
    private boolean isEnd;

    public Trie() {
        children = new Trie[26];
        isEnd = false;
    }
    
    public void insert(String word) {
        Trie node = this;
        for (char ch : word.toCharArray()) {
            int index = ch - 'a';
            if (node.children[index] == null) {
                node.children[index] = new Trie();
            }
            node = node.children[index];
        }
        node.isEnd = true;
    }
    
    public boolean search(String word) {
        Trie node = searchPrefix(word);
        return node != null && node.isEnd;
    }
    
    public boolean startsWith(String prefix) {
        return searchPrefix(prefix) != null;
    }

    private Trie searchPrefix(String prefix) {
        Trie node = this;
        for (char ch : prefix.toCharArray()) {
            int index = ch - 'a';
            if (node.children[index] == null) {
                return null;
            }
            node = node.children[index];
        }
        return node;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：插入、搜索、搜索前缀的时间复杂度均为 O(m)，其中 m 为字符串长度。
• 空间复杂度：最坏情况下需要存储所有字符，空间复杂度为 O(26 * m * n)，其中 n 为键的个数，m 为平均键长。

总结

Trie 的核心思想是用公共前缀来减少查询时间，常用于处理字符串的快速检索、前缀匹配等场景。掌握 Trie 的基本操作后，可以进一步解决更复杂的问题，如添加通配符、压缩 Trie 等。