奇异值分解（SVD）的原理与矩阵分解过程
字数 2095 2025-11-01 09:19:03

奇异值分解（SVD）的原理与矩阵分解过程

题目描述
奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种重要的矩阵分解方法，能将任意实数矩阵分解为三个特定矩阵的乘积。它在降维、推荐系统、图像压缩等领域有广泛应用。题目要求理解SVD的数学原理，掌握其分解步骤，并解释如何通过截断SVD实现降维。

解题过程

  1. SVD的定义
    对于任意 \(m \times n\) 的实数矩阵 \(A\)，其SVD分解形式为：

\[ A = U \Sigma V^T \]

  • \(U\) 是 \(m \times m\) 的正交矩阵（左奇异向量矩阵），列向量为单位正交向量。
  • \(\Sigma\) 是 \(m \times n\) 的矩形对角矩阵，对角线元素为非负的奇异值（按降序排列），其余元素为0。
  • \(V^T\) 是 \(n \times n\) 的正交矩阵 \(V\) 的转置（右奇异向量矩阵），行向量为单位正交向量。

  1. 求解SVD的步骤

    • 步骤1：计算 \(A^T A\) 和 \(A A^T\)
      • 计算 \(n \times n\) 的矩阵 \(A^T A\) 和 \(m \times m\) 的矩阵 \(A A^T\)。这两个矩阵均为实对称半正定矩阵。
    • 步骤2：求 \(V\) 和 \(U\) 的列向量
      • 对 \(A^T A\) 进行特征分解，得到特征值 \(\lambda_i\) 和单位特征向量 \(v_i\)，这些 \(v_i\) 构成 \(V\) 的列向量。
      • 对 \(A A^T\) 进行特征分解，得到特征值 \(\lambda_i\) 和单位特征向量 \(u_i\)，这些 \(u_i\) 构成 \(U\) 的列向量。
      • 注意：\(A^T A\) 和 \(A A^T\) 的特征值相同（均为非负数），且非零特征值数量等于矩阵 \(A\) 的秩 \(r\)。
    • 步骤3：构建 \(\Sigma\) 矩阵
      • 将 \(A^T A\)（或 \(A A^T\)）的特征值按降序排列，取平方根得到奇异值 \(\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}\)。
      • 将奇异值填充到 \(\Sigma\) 的对角线上：前 \(r\) 个对角元素为 \(\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r > 0\)，其余位置为0。

  2. 示例验证
    以矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) 为例：

    • 计算 \(A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)，特征值为 \(\lambda_1 \approx 2.618, \lambda_2 \approx 0.382\)，对应特征向量归一化后得 \(V\)。
    • 计算 \(A A^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)，特征值同 \(\lambda_1, \lambda_2\)，特征向量归一化后得 \(U\)。
    • 奇异值 \(\sigma_1 \approx \sqrt{2.618} \approx 1.618, \sigma_2 \approx \sqrt{0.382} \approx 0.618\)，代入 \(\Sigma = \begin{bmatrix} 1.618 & 0 \\ 0 & 0.618 \end{bmatrix}\)。
    • 验证 \(A = U \Sigma V^T\) 成立。

  3. 截断SVD与降维应用

    • 保留前 \(k\) 个最大奇异值（\(k < r\)），将 \(U, \Sigma, V^T\) 截断为 \(U_k\)（\(m \times k\)）、\(\Sigma_k\)（\(k \times k\)）、\(V_k^T\)（\(k \times n\)），得到近似矩阵：

\[ A_k = U_k \Sigma_k V_k^T \]

  • 截断后，\(A_k\) 是 \(A\) 在低维空间的最佳近似（基于Frobenius范数最小化误差），常用于去除噪声或压缩数据。例如在推荐系统中，用 \(A_k\) 预测用户对物品的评分。
  1. 几何解释
    • SVD可视为对矩阵 \(A\) 的线性变换的分解：先通过 \(V^T\) 进行旋转，再通过 \(\Sigma\) 进行缩放，最后通过 \(U\) 进行旋转。奇异值决定了缩放程度。

关键点总结

  • SVD将矩阵分解为旋转-缩放-旋转操作，奇异值表征矩阵的重要性。
  • 截断SVD通过保留主要奇异值实现降维，平衡精度与效率。
奇异值分解（SVD）的原理与矩阵分解过程 题目描述 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种重要的矩阵分解方法，能将任意实数矩阵分解为三个特定矩阵的乘积。它在降维、推荐系统、图像压缩等领域有广泛应用。题目要求理解SVD的数学原理，掌握其分解步骤，并解释如何通过截断SVD实现降维。 解题过程 SVD的定义 对于任意 \( m \times n \) 的实数矩阵 \( A \)，其SVD分解形式为： \[ A = U \Sigma V^T \] \( U \) 是 \( m \times m \) 的正交矩阵（左奇异向量矩阵），列向量为单位正交向量。 \( \Sigma \) 是 \( m \times n \) 的矩形对角矩阵，对角线元素为非负的奇异值（按降序排列），其余元素为0。 \( V^T \) 是 \( n \times n \) 的正交矩阵 \( V \) 的转置（右奇异向量矩阵），行向量为单位正交向量。 求解SVD的步骤 步骤1：计算 \( A^T A \) 和 \( A A^T \) 计算 \( n \times n \) 的矩阵 \( A^T A \) 和 \( m \times m \) 的矩阵 \( A A^T \)。这两个矩阵均为实对称半正定矩阵。 步骤2：求 \( V \) 和 \( U \) 的列向量 对 \( A^T A \) 进行特征分解，得到特征值 \( \lambda_ i \) 和单位特征向量 \( v_ i \)，这些 \( v_ i \) 构成 \( V \) 的列向量。 对 \( A A^T \) 进行特征分解，得到特征值 \( \lambda_ i \) 和单位特征向量 \( u_ i \)，这些 \( u_ i \) 构成 \( U \) 的列向量。 注意：\( A^T A \) 和 \( A A^T \) 的特征值相同（均为非负数），且非零特征值数量等于矩阵 \( A \) 的秩 \( r \)。 步骤3：构建 \( \Sigma \) 矩阵 将 \( A^T A \)（或 \( A A^T \)）的特征值按降序排列，取平方根得到奇异值 \( \sigma_ i = \sqrt{\lambda_ i} \)。 将奇异值填充到 \( \Sigma \) 的对角线上：前 \( r \) 个对角元素为 \( \sigma_ 1 \geq \sigma_ 2 \geq \cdots \geq \sigma_ r > 0 \)，其余位置为0。 示例验证 以矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) 为例： 计算 \( A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)，特征值为 \( \lambda_ 1 \approx 2.618, \lambda_ 2 \approx 0.382 \)，对应特征向量归一化后得 \( V \)。 计算 \( A A^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)，特征值同 \( \lambda_ 1, \lambda_ 2 \)，特征向量归一化后得 \( U \)。 奇异值 \( \sigma_ 1 \approx \sqrt{2.618} \approx 1.618, \sigma_ 2 \approx \sqrt{0.382} \approx 0.618 \)，代入 \( \Sigma = \begin{bmatrix} 1.618 & 0 \\ 0 & 0.618 \end{bmatrix} \)。 验证 \( A = U \Sigma V^T \) 成立。 截断SVD与降维应用 保留前 \( k \) 个最大奇异值（\( k < r \)），将 \( U, \Sigma, V^T \) 截断为 \( U_ k \)（\( m \times k \)）、\( \Sigma_ k \)（\( k \times k \)）、\( V_ k^T \)（\( k \times n \)），得到近似矩阵： \[ A_ k = U_ k \Sigma_ k V_ k^T \] 截断后，\( A_ k \) 是 \( A \) 在低维空间的最佳近似（基于Frobenius范数最小化误差），常用于去除噪声或压缩数据。例如在推荐系统中，用 \( A_ k \) 预测用户对物品的评分。 几何解释 SVD可视为对矩阵 \( A \) 的线性变换的分解：先通过 \( V^T \) 进行旋转，再通过 \( \Sigma \) 进行缩放，最后通过 \( U \) 进行旋转。奇异值决定了缩放程度。 关键点总结 SVD将矩阵分解为旋转-缩放-旋转操作，奇异值表征矩阵的重要性。 截断SVD通过保留主要奇异值实现降维，平衡精度与效率。