马尔可夫决策过程（MDP）的贝尔曼方程与值迭代算法

字数 2061 2025-11-01 09:19:03

马尔可夫决策过程（MDP）的贝尔曼方程与值迭代算法

题目描述
马尔可夫决策过程（MDP）是强化学习中对序贯决策问题建模的经典框架。其核心问题是如何通过贝尔曼方程计算最优策略，而值迭代（Value Iteration）是一种动态规划算法，用于求解MDP的最优值函数和策略。本题要求：

解释MDP的基本组成（状态、动作、转移概率、奖励函数、折扣因子）。
推导贝尔曼方程（Bellman Equation）及其最优形式。
逐步讲解值迭代算法的流程，并分析其收敛性。

1. MDP的基本组成

MDP由以下五元组定义：

状态集合（S）：系统可能处于的所有状态（如机器人所在位置）。
动作集合（A）：智能体可执行的动作（如前进、后退）。
转移概率（P）：在状态 \(s\) 执行动作 \(a\) 后，转移到状态 \(s'\) 的概率，记为 \(P(s' \mid s, a)\)。
奖励函数（R）：在状态 \(s\) 执行动作 \(a\) 后获得的即时奖励，记为 \(R(s, a)\)（或 \(R(s, a, s')\)）。
折扣因子（γ）：未来奖励的衰减系数，\(γ \in [0, 1]\)，用于权衡当前与未来奖励的重要性。

目标：找到一个策略 \(π(a \mid s)\)（状态到动作的映射），最大化累积奖励的期望值（即值函数）。

2. 贝尔曼方程推导

（1）状态值函数（State-Value Function）

策略 \(π\) 下的状态值函数 \(V^π(s)\) 表示从状态 \(s\) 开始，遵循策略 \(π\) 的累积奖励期望：

\[V^π(s) = \mathbb{E}_π \left[ \sum_{t=0}^{\infty} γ^t R(s_t, a_t) \mid s_0 = s \right]. \]

将其拆分为即时奖励和未来奖励：

\[V^π(s) = \sum_{a} π(a \mid s) \left[ R(s, a) + γ \sum_{s'} P(s' \mid s, a) V^π(s') \right]. \]

此即贝尔曼方程，描述了当前状态值与后续状态值的递归关系。

（2）最优值函数与贝尔曼最优方程

最优值函数 \(V^*(s) = \max_π V^π(s)\) 满足贝尔曼最优方程：

\[V^*(s) = \max_{a} \left[ R(s, a) + γ \sum_{s'} P(s' \mid s, a) V^*(s') \right]. \]

其含义：最优策略下，当前状态的值等于选择能最大化“即时奖励加未来折扣值”的动作对应的值。

3. 值迭代算法详解

值迭代通过不断更新值函数来逼近 \(V^*\)，步骤如下：

步骤1：初始化

对所有状态 \(s \in S\)，初始化值函数 \(V_0(s) = 0\)（或随机值）。设迭代次数 \(k=0\)。

步骤2：值函数更新

对每个状态 \(s\)，根据贝尔曼最优方程进行更新：

\[V_{k+1}(s) = \max_{a} \left[ R(s, a) + γ \sum_{s'} P(s' \mid s, a) V_k(s') \right]. \]

此步骤遍历所有状态和动作，计算所有可能的未来路径的期望值，并选择最优动作。

步骤3：收敛判断

计算相邻两次迭代值函数的最大差异：

\[\Delta = \max_{s \in S} |V_{k+1}(s) - V_k(s)|. \]

若 \(\Delta < \varepsilon\)（预设阈值，如 \(10^{-6}\)），则停止迭代；否则令 \(k = k+1\)，返回步骤2。

步骤4：提取最优策略

收敛后，通过最优值函数导出确定性策略 \(π^*\)：

\[π^*(s) = \arg\max_{a} \left[ R(s, a) + γ \sum_{s'} P(s' \mid s, a) V^*(s') \right]. \]

4. 收敛性分析

数学保证：贝尔曼最优方程是压缩映射（Contraction Mapping），满足 \(\|V_{k+1} - V^*\|_\infty \leq γ \|V_k - V^*\|_\infty\)。因 \(γ<1\)，算法必收敛到唯一解 \(V^*\)。
时间复杂度：每轮迭代需遍历 \(|S|\) 个状态和 \(|A|\) 个动作，每次计算 \(|S|\) 次转移，故每轮复杂度为 \(O(|S|^2 |A|)\)。

关键点总结

值迭代是模型已知（已知 \(P\) 和 \(R\)）下的动态规划方法。
核心思想是通过迭代逐步修正值函数，直至满足贝尔曼最优方程。
与策略迭代（Policy Iteration）的区别：值迭代直接优化值函数，而策略迭代交替评估策略和改进策略。

马尔可夫决策过程（MDP）的贝尔曼方程与值迭代算法题目描述马尔可夫决策过程（MDP）是强化学习中对序贯决策问题建模的经典框架。其核心问题是如何通过贝尔曼方程计算最优策略，而值迭代（Value Iteration）是一种动态规划算法，用于求解MDP的最优值函数和策略。本题要求：解释MDP的基本组成（状态、动作、转移概率、奖励函数、折扣因子）。推导贝尔曼方程（Bellman Equation）及其最优形式。逐步讲解值迭代算法的流程，并分析其收敛性。 1. MDP的基本组成 MDP由以下五元组定义：状态集合（S）：系统可能处于的所有状态（如机器人所在位置）。动作集合（A）：智能体可执行的动作（如前进、后退）。转移概率（P）：在状态 \(s\) 执行动作 \(a\) 后，转移到状态 \(s'\) 的概率，记为 \(P(s' \mid s, a)\)。奖励函数（R）：在状态 \(s\) 执行动作 \(a\) 后获得的即时奖励，记为 \(R(s, a)\)（或 \(R(s, a, s')\)）。折扣因子（γ）：未来奖励的衰减系数，\(γ \in [ 0, 1 ]\)，用于权衡当前与未来奖励的重要性。目标：找到一个策略 \(π(a \mid s)\)（状态到动作的映射），最大化累积奖励的期望值（即值函数）。 2. 贝尔曼方程推导（1）状态值函数（State-Value Function）策略 \(π\) 下的状态值函数 \(V^π(s)\) 表示从状态 \(s\) 开始，遵循策略 \(π\) 的累积奖励期望： \[ V^π(s) = \mathbb{E} π \left[ \sum {t=0}^{\infty} γ^t R(s_ t, a_ t) \mid s_ 0 = s \right ]. \] 将其拆分为即时奖励和未来奖励： \[ V^π(s) = \sum_ {a} π(a \mid s) \left[ R(s, a) + γ \sum_ {s'} P(s' \mid s, a) V^π(s') \right ]. \] 此即贝尔曼方程，描述了当前状态值与后续状态值的递归关系。（2）最优值函数与贝尔曼最优方程最优值函数 \(V^ (s) = \max_ π V^π(s)\) 满足贝尔曼最优方程： \[ V^ (s) = \max_ {a} \left[ R(s, a) + γ \sum_ {s'} P(s' \mid s, a) V^* (s') \right ]. \] 其含义：最优策略下，当前状态的值等于选择能最大化“即时奖励加未来折扣值”的动作对应的值。 3. 值迭代算法详解值迭代通过不断更新值函数来逼近 \(V^* \)，步骤如下：步骤1：初始化对所有状态 \(s \in S\)，初始化值函数 \(V_ 0(s) = 0\)（或随机值）。设迭代次数 \(k=0\)。步骤2：值函数更新对每个状态 \(s\)，根据贝尔曼最优方程进行更新： \[ V_ {k+1}(s) = \max_ {a} \left[ R(s, a) + γ \sum_ {s'} P(s' \mid s, a) V_ k(s') \right ]. \] 此步骤遍历所有状态和动作，计算所有可能的未来路径的期望值，并选择最优动作。步骤3：收敛判断计算相邻两次迭代值函数的最大差异： \[ \Delta = \max_ {s \in S} |V_ {k+1}(s) - V_ k(s)|. \] 若 \(\Delta < \varepsilon\)（预设阈值，如 \(10^{-6}\)），则停止迭代；否则令 \(k = k+1\)，返回步骤2。步骤4：提取最优策略收敛后，通过最优值函数导出确定性策略 \(π^ \)： \[ π^ (s) = \arg\max_ {a} \left[ R(s, a) + γ \sum_ {s'} P(s' \mid s, a) V^* (s') \right ]. \] 4. 收敛性分析数学保证：贝尔曼最优方程是压缩映射（Contraction Mapping），满足 \( \|V_ {k+1} - V^ \|_ \infty \leq γ \|V_ k - V^ \|_ \infty \)。因 \(γ<1\)，算法必收敛到唯一解 \(V^* \)。时间复杂度：每轮迭代需遍历 \(|S|\) 个状态和 \(|A|\) 个动作，每次计算 \(|S|\) 次转移，故每轮复杂度为 \(O(|S|^2 |A|)\)。关键点总结值迭代是模型已知（已知 \(P\) 和 \(R\)）下的动态规划方法。核心思想是通过迭代逐步修正值函数，直至满足贝尔曼最优方程。与策略迭代（Policy Iteration）的区别：值迭代直接优化值函数，而策略迭代交替评估策略和改进策略。