最小生成树问题（Reverse-Delete算法） 题目描述 给定一个连通的无向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \) 有一个权重 \( w(e) \)。目标是找到图 \( G \) 的一个最小生成树（MST），即一个包含所有顶点的连通无环子图，且所有边的权重之和最小。Reverse-Delete 算法通过逐步删除边来求解 MST，其核心思想是： 按权重从大到小的顺序考虑每条边，若删除该边后图仍连通，则删除该边；否则保留 。 解题过程 步骤 1: 算法原理 逆过程 ：Reverse-Delete 算法是 Kruskal 算法的逆向操作。Kruskal 通过逐步添加边构建 MST，而 Reverse-Delete 从原图开始逐步删除边。 关键性质 ：若一条边属于图的某个环，且是该环中权重最大的边，则它一定不在任何 MST 中（基于 MST 的环性质）。算法通过判断边的可删除性来保留必要的边。 终止条件 ：当剩余边数等于 \( |V| - 1 \) 时，剩余边构成 MST。 步骤 2: 算法流程 初始化 ：将图的所有边按权重从大到小排序。 遍历边 ：按排序顺序依次检查每条边 \( e \)： 暂时从图中移除 \( e \)。 检查图是否仍连通（使用 DFS 或并查集）。 若连通，说明 \( e \) 冗余，永久删除 \( e \)；否则保留 \( e \) 并恢复图。 输出 ：当剩余边数减至 \( |V| - 1 \) 时，算法结束，剩余边即为 MST。 步骤 3: 详细示例 假设无向图有顶点集 \( V = \{A, B, C, D\} \) 和边集（权重如下）： \( AB: 1 \) \( BC: 2 \) \( CD: 3 \) \( DA: 4 \) \( AC: 5 \) 执行过程 ： 排序边 ：按权重降序为 \( AC(5), DA(4), CD(3), BC(2), AB(1) \)。 检查 \( AC(5) \) ： 删除 \( AC \) 后，图仍连通（通过 \( AB-BC-CD-DA \) 路径）。 永久删除 \( AC \)。 检查 \( DA(4) \) ： 删除 \( DA \) 后，图断开（\( D \) 孤立）。 保留 \( DA \)。 检查 \( CD(3) \) ： 删除 \( CD \) 后，图仍连通（通过 \( DA-AB-BC \) 路径）。 永久删除 \( CD \)。 剩余边数 ：当前剩余 \( DA, BC, AB \)（共 3 条边，\( |V| - 1 = 3 \)），算法终止。 MST 边 ：\( DA(4), BC(2), AB(1) \)，总权重 7。 步骤 4: 正确性分析 算法始终保持图的连通性，最终子图是生成树。 通过环性质保证删除的边不在 MST 中：每次删除的边都是当前环中权重最大的边。 时间复杂度：排序需 \( O(|E| \log |E|) \)，每次连通性检查（用 DFS）需 \( O(|V| + |E|) \)，总复杂度 \( O(|E| (|V| + |E|)) \)。可用并查集优化连通性检查至 \( O(|E| \log |V|) \)。 步骤 5: 对比其他算法 与 Kruskal/Prim 对比 ：Reverse-Delete 更适合边数较多的稠密图，但实际较少使用因效率较低。 适用场景 ：需动态删除边的最小生成树维护问题。 通过以上步骤，Reverse-Delete 算法以逆向思维逐步剔除冗余边，最终得到最小生成树。