基于Krylov子空间的COCG算法解对称复线性方程组
字数 2602 2025-11-01 09:19:09

基于Krylov子空间的COCG算法解对称复线性方程组

题目描述
考虑求解对称复线性方程组：

\[A\mathbf{x} = \mathbf{b} \]

其中 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\) 是对称矩阵（即 \(A = A^T\)，但未必是Hermitian矩阵），且可能非正定。\(\mathbf{b} \in \mathbb{C}^n\) 是已知向量，需高效求解未知向量 \(\mathbf{x} \in \mathbb{C}^n\)。COCG（Conjugate Orthogonal Conjugate Gradient）算法是专为此类问题设计的Krylov子空间方法，通过构建共轭正交的搜索方向来避免传统CG算法对正定性的依赖。

解题过程

1. 问题分析与算法动机

  • 传统共轭梯度法要求矩阵对称正定（实数域）或Hermitian正定（复数域）。若 \(A\) 仅对称但非Hermitian（例如 \(A \neq A^H\)），则标准CG可能失效。
  • COCG通过修改内积定义，将复数域中的共轭正交性（而非标准正交性）作为搜索方向的构建原则，确保残差向量在Krylov子空间中快速下降。
  • 核心思想：在Krylov子空间 \(\mathcal{K}_m(A, \mathbf{r}_0) = \text{span}\{\mathbf{r}_0, A\mathbf{r}_0, \dots, A^{m-1}\mathbf{r}_0\}\) 中迭代逼近解，其中 \(\mathbf{r}_0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_0\) 是初始残差。

2. 共轭正交性的定义

  • 在复数域中，COCG使用双共轭内积（bilinear form）：

\[ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^T \mathbf{v} \quad (\text{而非 } \mathbf{u}^H \mathbf{v}) \]

  • 两个向量 \(\mathbf{p}\) 和 \(\mathbf{q}\) 称为共轭正交（conjugate orthogonal），若满足：

\[ \mathbf{p}^T A \mathbf{q} = 0 \]

此条件替代了传统CG中 \(\mathbf{p}^H A \mathbf{q} = 0\) 的共轭正交性。

3. COCG算法步骤
初始化：

  • 选择初始解 \(\mathbf{x}_0\)（通常设为零向量），计算初始残差 \(\mathbf{r}_0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_0\)。
  • 设初始搜索方向 \(\mathbf{p}_0 = \mathbf{r}_0\)。

迭代步骤（第 \(k\) 步）：

  1. 计算步长 \(\alpha_k\)：

\[ \alpha_k = \frac{\mathbf{r}_k^T \mathbf{r}_k}{\mathbf{p}_k^T A \mathbf{p}_k} \]

分子是残差的双共轭内积，分母确保搜索方向 \(\mathbf{p}_k\) 与 \(A\mathbf{p}_k\) 共轭正交。

  1. 更新解和残差：

\[ \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k + \alpha_k \mathbf{p}_k \]

\[ \mathbf{r}_{k+1} = \mathbf{r}_k - \alpha_k A \mathbf{p}_k \]

残差更新需严格按此公式，避免累积误差。

  1. 计算方向更新系数 \(\beta_k\)：

\[ \beta_k = \frac{\mathbf{r}_{k+1}^T \mathbf{r}_{k+1}}{\mathbf{r}_k^T \mathbf{r}_k} \]

该系数衡量新旧残差的相对变化。

  1. 更新搜索方向：

\[ \mathbf{p}_{k+1} = \mathbf{r}_{k+1} + \beta_k \mathbf{p}_k \]

新方向 \(\mathbf{p}_{k+1}\) 与旧方向 \(\mathbf{p}_k\) 满足共轭正交性： \(\mathbf{p}_{k+1}^T A \mathbf{p}_k = 0\)。

终止条件：当残差范数 \(\|\mathbf{r}_k\|\) 小于预设容差时停止迭代。

4. 算法特性与注意事项

  • 收敛性：若 \(A\) 的特征值分布良好，COCG可在远少于 \(n\) 的迭代步内收敛。
  • 稳定性：由于使用双共轭内积，算法可能受舍入误差影响，需监控残差重正交化（如重启策略）。
  • 与CG的区别：COCG的内积计算无需共轭转置（仅转置），适用于对称复矩阵，但不再保证残差范数单调下降。

5. 数值示例（简化的迭代演示）
设对称复矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 2 & i \\ i & 3 \end{bmatrix}\)，向量 \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 + i \\ 2i \end{bmatrix}\)，初始解 \(\mathbf{x}_0 = \mathbf{0}\)。

  • 初始残差 \(\mathbf{r}_0 = \mathbf{b}\)，方向 \(\mathbf{p}_0 = \mathbf{r}_0\)。
  • 第一步计算 \(\alpha_0 = \frac{\mathbf{r}_0^T \mathbf{r}_0}{\mathbf{p}_0^T A \mathbf{p}_0}\)，更新 \(\mathbf{x}_1\) 和 \(\mathbf{r}_1\)，再通过 \(\beta_0\) 更新 \(\mathbf{p}_1\)。
  • 迭代至残差足够小，即得近似解。

通过以上步骤，COCG有效解决了对称复线性方程组的求解问题，扩展了CG算法的应用范围。

基于Krylov子空间的COCG算法解对称复线性方程组 题目描述 考虑求解对称复线性方程组： \[ A\mathbf{x} = \mathbf{b} \] 其中 \( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \) 是对称矩阵（即 \( A = A^T \)，但未必是Hermitian矩阵），且可能非正定。\( \mathbf{b} \in \mathbb{C}^n \) 是已知向量，需高效求解未知向量 \( \mathbf{x} \in \mathbb{C}^n \)。COCG（Conjugate Orthogonal Conjugate Gradient）算法是专为此类问题设计的Krylov子空间方法，通过构建共轭正交的搜索方向来避免传统CG算法对正定性的依赖。 解题过程 1. 问题分析与算法动机 传统共轭梯度法要求矩阵对称正定（实数域）或Hermitian正定（复数域）。若 \( A \) 仅对称但非Hermitian（例如 \( A \neq A^H \)），则标准CG可能失效。 COCG通过修改内积定义，将复数域中的共轭正交性（而非标准正交性）作为搜索方向的构建原则，确保残差向量在Krylov子空间中快速下降。 核心思想：在Krylov子空间 \( \mathcal{K}_ m(A, \mathbf{r}_ 0) = \text{span}\{\mathbf{r}_ 0, A\mathbf{r}_ 0, \dots, A^{m-1}\mathbf{r}_ 0\} \) 中迭代逼近解，其中 \( \mathbf{r}_ 0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_ 0 \) 是初始残差。 2. 共轭正交性的定义 在复数域中，COCG使用 双共轭内积 （bilinear form）： \[ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^T \mathbf{v} \quad (\text{而非 } \mathbf{u}^H \mathbf{v}) \] 两个向量 \( \mathbf{p} \) 和 \( \mathbf{q} \) 称为共轭正交（conjugate orthogonal），若满足： \[ \mathbf{p}^T A \mathbf{q} = 0 \] 此条件替代了传统CG中 \( \mathbf{p}^H A \mathbf{q} = 0 \) 的共轭正交性。 3. COCG算法步骤 初始化 ： 选择初始解 \( \mathbf{x}_ 0 \)（通常设为零向量），计算初始残差 \( \mathbf{r}_ 0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_ 0 \)。 设初始搜索方向 \( \mathbf{p}_ 0 = \mathbf{r}_ 0 \)。 迭代步骤（第 \( k \) 步） ： 计算步长 \( \alpha_ k \) ： \[ \alpha_ k = \frac{\mathbf{r}_ k^T \mathbf{r}_ k}{\mathbf{p}_ k^T A \mathbf{p}_ k} \] 分子是残差的双共轭内积，分母确保搜索方向 \( \mathbf{p}_ k \) 与 \( A\mathbf{p}_ k \) 共轭正交。 更新解和残差 ： \[ \mathbf{x}_ {k+1} = \mathbf{x}_ k + \alpha_ k \mathbf{p} k \] \[ \mathbf{r} {k+1} = \mathbf{r}_ k - \alpha_ k A \mathbf{p}_ k \] 残差更新需严格按此公式，避免累积误差。 计算方向更新系数 \( \beta_ k \) ： \[ \beta_ k = \frac{\mathbf{r} {k+1}^T \mathbf{r} {k+1}}{\mathbf{r}_ k^T \mathbf{r}_ k} \] 该系数衡量新旧残差的相对变化。 更新搜索方向 ： \[ \mathbf{p} {k+1} = \mathbf{r} {k+1} + \beta_ k \mathbf{p} k \] 新方向 \( \mathbf{p} {k+1} \) 与旧方向 \( \mathbf{p} k \) 满足共轭正交性： \( \mathbf{p} {k+1}^T A \mathbf{p}_ k = 0 \)。 终止条件 ：当残差范数 \( \|\mathbf{r}_ k\| \) 小于预设容差时停止迭代。 4. 算法特性与注意事项 收敛性 ：若 \( A \) 的特征值分布良好，COCG可在远少于 \( n \) 的迭代步内收敛。 稳定性 ：由于使用双共轭内积，算法可能受舍入误差影响，需监控残差重正交化（如重启策略）。 与CG的区别 ：COCG的内积计算无需共轭转置（仅转置），适用于对称复矩阵，但不再保证残差范数单调下降。 5. 数值示例（简化的迭代演示） 设对称复矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & i \\ i & 3 \end{bmatrix} \)，向量 \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 + i \\ 2i \end{bmatrix} \)，初始解 \( \mathbf{x}_ 0 = \mathbf{0} \)。 初始残差 \( \mathbf{r}_ 0 = \mathbf{b} \)，方向 \( \mathbf{p}_ 0 = \mathbf{r}_ 0 \)。 第一步计算 \( \alpha_ 0 = \frac{\mathbf{r}_ 0^T \mathbf{r}_ 0}{\mathbf{p}_ 0^T A \mathbf{p}_ 0} \)，更新 \( \mathbf{x}_ 1 \) 和 \( \mathbf{r}_ 1 \)，再通过 \( \beta_ 0 \) 更新 \( \mathbf{p}_ 1 \)。 迭代至残差足够小，即得近似解。 通过以上步骤，COCG有效解决了对称复线性方程组的求解问题，扩展了CG算法的应用范围。