列生成算法在电力系统机组组合问题中的应用示例 我将为您详细讲解列生成算法如何应用于电力系统机组组合问题。这是一个经典的混合整数规划问题，通过列生成可以高效求解其线性松弛。 问题描述 机组组合问题是电力系统运行中的核心优化问题。假设有： T个时段（t=1,...,T） N台发电机组（i=1,...,N） 每个时段t的电力需求D_ t 每台机组i有： 最小出力P_ min_ i和最大出力P_ max_ i 启动成本C_ start_ i和运行成本C_ run_ i 最小运行时间T_ up_ i和最小停机时间T_ down_ i 目标：确定每台机组在每个时段的启停状态和出力水平，在满足需求和各种技术约束下，使总成本最小。 数学模型建立 定义二元变量x_ it表示机组i在时段t的启停状态（1=运行，0=停机），连续变量p_ it表示出力。 传统模型为： min Σ_ iΣ_ t (C_ start_ i·y_ it + C_ run_ i·p_ it) s.t. Σ_ i p_ it ≥ D_ t, ∀t （需求约束） P_ min_ i·x_ it ≤ p_ it ≤ P_ max_ i·x_ it, ∀i,t （出力约束） 其他技术约束（最小启停时间、爬坡率等） 列生成重构 将问题重构为集合划分模型： 每台机组i有多个可行的运行方案（"列"） 每个方案k是一个T时段的启停和出力计划 方案k的成本为c_ ik 决策变量λ_ ik表示是否选择方案k 主问题： min Σ_ iΣ_ k c_ ik·λ_ ik s.t. Σ_ iΣ_ k p_ ikt·λ_ ik ≥ D_ t, ∀t （需求约束） Σ_ k λ_ ik = 1, ∀i （每个机组选一个方案） 列生成求解过程 步骤1：限制主问题初始化 为每台机组生成一个简单的可行方案（如全程停机或按最小出力运行），构成初始限制主问题。 步骤2：求解限制主问题 求解当前限制主问题的线性松弛，得到最优解和对偶变量： π_ t：需求约束的对偶价格（时段t的边际价值） σ_ i：机组选择约束的对偶价格 步骤3：定价子问题 对每台机组i，求解子问题寻找负检验数的列： min c_ ik - Σ_ t π_ t·p_ ikt - σ_ i 这等价于求解单机组经济调度问题： min Σ_ t [ C_ run_ i·p_ it + C_ start_ i·y_ it] - Σ_ t π_ t·p_ it s.t. 单机组的技术约束 步骤4：列管理 对每个机组i，如果找到检验数为负的列（即降低成本的机会），则将其加入限制主问题。 步骤5：收敛判断 如果所有机组都找不到检验数为负的列，则当前解是最优的。否则返回步骤2。 关键技术细节 单机组子问题求解 ：使用动态规划高效处理启停约束和时间耦合约束 整数解获取 ：列生成得到线性松弛下界后，使用分支定价或启发式获得整数解 稳定化技术 ：使用对偶价格平滑等技术加速收敛 算法优势 避免枚举所有可能的运行方案 通过分解将复杂问题简化为多个易解子问题 特别适合机组数多、时段数多的大规模问题 这个框架已成为电力系统机组组合问题的主流求解方法之一，在实际工业应用中取得了显著成效。