多边形三角剖分的最低得分问题（边权重和版本）

题目描述
给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序编号为0, 1, 2, ..., n-1。每个顶点有一个权重。将多边形三角剖分（即用n-3条不相交的对角线将多边形划分成n-2个三角形）后，每个三角形的得分等于其三个顶点权重之和。求所有三角形得分总和的最小值。

解题过程

1. 问题分析

• 我们需要将凸多边形划分为多个三角形，每个三角形由三个相邻顶点组成
• 目标是最小化所有三角形顶点权重之和的总和
• 这是一个典型的区间动态规划问题，因为三角剖分可以看作是对多边形边的区间进行划分

2. 状态定义
定义dp[i][j]表示从顶点i到顶点j（按顺时针顺序）形成的子多边形进行三角剖分后的最小得分和。

3. 状态转移方程
对于区间[i,j]（j-i ≥ 2）：

• 当j-i = 2时，即只有三个顶点，形成一个三角形：
  dp[i][j] = weight[i] + weight[i+1] + weight[j]

• 当j-i > 2时，我们需要选择分割点k（i < k < j）：
  dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j] + weight[i] + weight[j] + weight[k])，其中k从i+1到j-1

4. 边界条件

• 当j-i < 2时，无法形成三角形，dp[i][j] = 0

5. 计算顺序
我们需要按照区间长度从小到大的顺序计算：

1. 先计算所有长度为2的区间（即3个顶点）
2. 然后计算长度为3、4、...、n-1的区间

6. 示例演示
考虑顶点权重为[1, 2, 3, 4]的四边形（n=4）：

• 可能的三角剖分：
  1. 连接顶点0-2：三角形(0,1,2)和(0,2,3)
     得分 = (1+2+3) + (1+3+4) = 6 + 8 = 14
  2. 连接顶点1-3：三角形(0,1,3)和(1,2,3)
     得分 = (1+2+4) + (2+3+4) = 7 + 9 = 16
• 最小得分为14

7. 算法实现

def min_triangulation_score(weights):
    n = len(weights)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    
    # 按区间长度遍历
    for length in range(2, n):  # length表示区间内的顶点数-1
        for i in range(n - length):
            j = i + length
            dp[i][j] = float('inf')
            
            # 遍历所有可能的分割点
            for k in range(i + 1, j):
                score = dp[i][k] + dp[k][j] + weights[i] + weights[j] + weights[k]
                dp[i][j] = min(dp[i][j], score)
    
    return dp[0][n-1]

8. 复杂度分析

• 时间复杂度：O(n³)，需要三层循环
• 空间复杂度：O(n²)，用于存储dp数组

9. 关键理解点

• 选择分割点k相当于选择以顶点i、j、k形成的三角形
• 剩下的部分被分成两个子多边形[i,k]和[k,j]
• 每个三角形的得分只与三个顶点的权重有关，与边无关