自适应高斯-克朗罗德积分法在带奇异点函数积分中的应用 题目描述 考虑计算带奇异点的积分 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)。该积分在区间端点 \( x = \pm 1 \) 处被积函数 \( f(x) = \cos(x) / \sqrt{1-x^2} \) 的分母为零，导致奇异点（积分本身收敛）。要求使用自适应高斯-克朗罗德积分法计算该积分，并分析其如何处理奇异点。 解题过程 问题分析 积分区间为 \([ -1, 1 ]\)，在端点处被积函数趋于无穷，但积分收敛（因 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 的奇异性可积）。 直接使用标准求积公式（如高斯-勒让德）在端点可能误差较大，需适应性处理奇异点附近区域。 高斯-克朗罗德求积公式简介 高斯-克朗罗德公式是嵌套型公式：\( n \)-点高斯公式计算近似值 \( G_ n \)，\( 2n+1 \)-点克朗罗德公式计算 \( K_ {2n+1} \)。 误差估计为 \( E = |K_ {2n+1} - G_ n| \)，若 \( E \) 大于容差，则细分区间并重新应用公式。 奇异点处理策略 自适应方法会在端点附近自动加密节点：当子区间包含奇异点时，误差估计 \( E \) 较大，触发细分。 细分后，奇异点被隔离到更小的子区间，公式在子区间上应用，利用更高密度节点逼近奇异行为。 计算步骤示例 步骤1 ：在全区间 \([ -1, 1]\) 上应用高斯-克朗罗德公式（例如取 \( n=7 \)，则 \( K_ {15} \) 为克朗罗德近似）。 步骤2 ：计算误差 \( E = |K_ {15} - G_ 7| \)。若 \( E > \text{容差} \)（如 \( 10^{-6} \)），将区间分为 \([ -1, 0]\) 和 \([ 0, 1 ]\)。 步骤3 ：对每个子区间递归应用相同过程。端点 \( x=\pm 1 \) 所在的子区间会因误差大被反复细分，直至满足容差。 步骤4 ：累加所有子区间的积分近似值，得到最终结果。 收敛性说明 由于奇异点仅影响端点附近，自适应细分能局部提升精度，避免全局节点浪费。 理论保证：对于可积奇异函数，自适应高斯-克朗罗德法能控制误差，因细分后奇异点邻域被高效采样。 数值结果预期 该积分的精确值可参考贝塞尔函数 \( I = \pi J_ 0(1) \approx 2.40394 \)。 自适应方法应能在容差内逼近该值，且细分次数集中在端点附近。 总结 自适应高斯-克朗罗德法通过误差驱动的局部细分，有效处理端点奇异点，兼顾效率与精度，适用于类似带权奇异积分问题。