xxx 哈密顿路径问题（回溯算法） 题目描述 哈密顿路径问题要求在一个给定的无向图中找到一条路径，使得这条路径恰好访问图中每个顶点一次且仅一次。如果这样的路径存在，则称该图为哈密顿图。需要注意的是，哈密顿路径不要求路径的起点和终点相连（即不要求形成环），而如果路径首尾相连则称为哈密顿回路。本问题聚焦于寻找哈密顿路径（不一定成环）。 解题过程 哈密顿路径问题属于NP完全问题，没有已知的多项式时间解法。回溯算法通过系统性地探索所有可能的路径来寻找解，其核心思想是逐步构建路径，并在每一步检查当前部分路径是否可能扩展为完整解。 步骤1：问题建模 输入：无向图 \( G(V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集合，\( E \) 是边集合。 输出：一个顶点序列 \( [ v_ 1, v_ 2, ..., v_ n ] \)，满足： 所有顶点出现且仅出现一次； 对于相邻顶点 \( v_ i \) 和 \( v_ {i+1} \)，边 \( (v_ i, v_ {i+1}) \in E \)。 步骤2：回溯算法框架 回溯算法通过递归尝试所有可能的顶点选择，并在发现当前选择无法得到解时回溯（撤销最近的选择）。算法步骤如下： 初始化一个空路径列表 path 。 从图中任意一个顶点开始（因为路径可能从任何顶点出发）。 递归地尝试将未访问的相邻顶点添加到路径中。 若路径长度等于顶点总数 \( n \)，则找到解；否则回溯。 步骤3：详细步骤分解 选择起点 ：遍历每个顶点作为路径的起点（因为哈密顿路径可能以任何顶点开始）。 递归函数设计 ： 参数：当前路径 path 、已访问顶点集合 visited 。 基准情况：若 path 的长度为 \( n \)，说明所有顶点已被访问，输出路径。 递归步骤：遍历当前路径末尾顶点的所有未访问邻居，将其加入路径并标记为已访问，然后递归调用。若递归返回失败，则回溯（移除该顶点并标记为未访问）。 剪枝优化 ： 若当前顶点的未访问邻居数为0，且路径长度未达 \( n \)，则直接回溯。 可通过贪心策略优先选择度数较小的邻居，减少搜索分支（但需注意不一定保证最优）。 步骤4：实例演示 考虑一个简单无向图，顶点集 \( \{A, B, C, D\} \)，边集 \( \{(A,B), (A,C), (B,C), (B,D), (C,D)\} \)。 从顶点 \( A \) 开始，路径初始为 [A] 。 尝试邻居 \( B \)：路径变为 [A, B] 。 从 \( B \) 尝试邻居 \( C \)：路径变为 [A, B, C] 。 从 \( C \) 尝试未访问邻居 \( D \)：路径变为 [A, B, C, D] ，长度等于4，找到解。 若某分支失败（如从 \( A \) 先选 \( C \) 再选 \( B \)，可能导致 \( D \) 无法接入），则回溯到上一步重新选择。 步骤5：算法复杂度 最坏情况下需尝试所有顶点排列，时间复杂度为 \( O(n !) \)。 空间复杂度为 \( O(n) \)（递归栈和路径存储）。 总结 回溯算法通过系统性的尝试与回溯，确保找到所有可能的哈密顿路径。虽然其复杂度较高，但对于小规模图或特定结构图（如稠密图）仍可实用。优化策略如剪枝或启发式规则（如Warnsdorff规则）可提升效率，但无法改变NP完全问题的本质。