高斯-勒让德求积公式在带权积分中的变换技巧
字数 2484 2025-11-01 09:19:10

高斯-勒让德求积公式在带权积分中的变换技巧

题目描述：
计算带权积分 \(I = \int_{-1}^{1} f(x) \cdot \omega(x) \, dx\)，其中权函数 \(\omega(x) = \sqrt{1-x^2}\)。若直接使用标准高斯-勒让德求积公式（对应权函数 \(\omega(x)=1\)）计算，需通过变量变换将原积分转化为标准形式。请详细说明变换步骤，并推导变换后的积分节点与权重。

解题过程：

步骤1：分析权函数与正交多项式的关系

  • 高斯求积公式的节点和权重依赖于权函数 \(\omega(x)\) 对应的正交多项式。
  • 标准高斯-勒让德公式适用于 \(\omega(x)=1\)，而本题中 \(\omega(x)=\sqrt{1-x^2}\) 对应第一类切比雪夫权函数（但切比雪夫权为 \(1/\sqrt{1-x^2}\)，此处为其倒数形式）。
  • 直接应用高斯-勒让德公式会因权函数不匹配导致误差，需通过变量变换消除 \(\omega(x)\)。

步骤2：设计变量变换
目标是将积分转化为标准形式：

\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \sqrt{1-x^2} dx = \int_{-1}^{1} \left[ f(x) \sqrt{1-x^2} \right] \cdot 1 dx. \]

但被积函数变为 \(g(x) = f(x) \sqrt{1-x^2}\)，若 \(f(x)\) 光滑，则 \(g(x)\) 在端点可能不可导（如 \(x=\pm1\) 时 \(\sqrt{1-x^2}=0\)），直接使用高斯-勒让德公式可能收敛较慢。

更优方法：令 \(x = \cos\theta\)，则：

\[dx = -\sin\theta d\theta, \quad \sqrt{1-x^2} = \sin\theta, \quad \theta \in [0, \pi]. \]

代入原积分：

\[I = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin\theta \cdot (-\sin\theta) d\theta = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta d\theta. \]

进一步利用恒等式 \(\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}\)，但更直接的方法是注意到积分区间对称，可转换为：

\[I = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta d\theta. \]

此处利用 \(\sin^2\theta\) 的周期性，但实际计算时需保持区间 \([0, \pi]\)。

步骤3：应用高斯-勒让德公式的适配形式
变换后的积分 \(I = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta d\theta\) 仍非标准形式。但若令 \(u = \theta - \frac{\pi}{2}\)，则：

\[I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin u) \cos^2 u du. \]

此时权函数 \(\cos^2 u\) 在区间对称，可进一步简化为区间 \([-1,1]\) 上的积分。但更实用的方法是直接使用高斯-切比雪夫求积公式（第二类），其权函数为 \(\sqrt{1-x^2}\)，节点和权重有显式表达式：

  • 节点： \(x_k = \cos\frac{k\pi}{n+1} \quad (k=1,\dots,n)\)
  • 权重： \(w_k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\frac{k\pi}{n+1}\)

但本题要求使用高斯-勒让德公式，故需通过变换将权函数吸收。

步骤4：最终变换与节点权重计算
将原积分写为：

\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \sqrt{1-x^2} dx = \int_{-1}^{1} \frac{f(x) \sqrt{1-x^2}}{1} dx. \]

若强行使用高斯-勒让德公式（节点 \(x_i\)、权重 \(w_i^{\text{Leg}}\)），则近似为：

\[I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i^{\text{Leg}} \cdot f(x_i) \sqrt{1-x_i^2}. \]

此方法等价于直接对待积函数 \(g(x)=f(x)\sqrt{1-x^2}\) 应用标准高斯-勒让德公式，无需额外推导节点权重。但若 \(f(x)\) 在端点奇异，需增加节点数以提高精度。

步骤5：误差分析

  • 若 \(f(x)\) 光滑，则 \(g(x) = f(x)\sqrt{1-x^2}\) 在端点处趋于零，高斯-勒让德公式仍可有效收敛。
  • 误差估计参考标准高斯-勒让德公式的余项：

\[E_n = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \cdot \frac{2^{2n+1} (n!)^4}{(2n+1)[(2n)!]^2}, \quad \xi \in (-1,1). \]

但因 \(g(x)\) 可能不是多项式，实际误差需考虑 \(g(x)\) 的平滑性。

总结：
本题的关键在于通过变量变换将带权积分转化为标准形式，或直接对组合函数 \(g(x)=f(x)\omega(x)\) 应用高斯-勒让德公式。若追求更高效率，可选用匹配权函数的高斯-切比雪夫公式（第二类），但高斯-勒让德公式通过简单变换仍可适用。

高斯-勒让德求积公式在带权积分中的变换技巧 题目描述 ： 计算带权积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \cdot \omega(x) \, dx \)，其中权函数 \( \omega(x) = \sqrt{1-x^2} \)。若直接使用标准高斯-勒让德求积公式（对应权函数 \( \omega(x)=1 \)）计算，需通过变量变换将原积分转化为标准形式。请详细说明变换步骤，并推导变换后的积分节点与权重。 解题过程 ： 步骤1：分析权函数与正交多项式的关系 高斯求积公式的节点和权重依赖于权函数 \( \omega(x) \) 对应的正交多项式。 标准高斯-勒让德公式适用于 \( \omega(x)=1 \)，而本题中 \( \omega(x)=\sqrt{1-x^2} \) 对应 第一类切比雪夫权函数 （但切比雪夫权为 \( 1/\sqrt{1-x^2} \)，此处为其倒数形式）。 直接应用高斯-勒让德公式会因权函数不匹配导致误差，需通过变量变换消除 \( \omega(x) \)。 步骤2：设计变量变换 目标是将积分转化为标准形式： \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \sqrt{1-x^2} dx = \int_ {-1}^{1} \left[ f(x) \sqrt{1-x^2} \right ] \cdot 1 dx. \] 但被积函数变为 \( g(x) = f(x) \sqrt{1-x^2} \)，若 \( f(x) \) 光滑，则 \( g(x) \) 在端点可能不可导（如 \( x=\pm1 \) 时 \( \sqrt{1-x^2}=0 \)），直接使用高斯-勒让德公式可能收敛较慢。 更优方法：令 \( x = \cos\theta \)，则： \[ dx = -\sin\theta d\theta, \quad \sqrt{1-x^2} = \sin\theta, \quad \theta \in [ 0, \pi ]. \] 代入原积分： \[ I = \int_ {0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin\theta \cdot (-\sin\theta) d\theta = \int_ {0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta d\theta. \] 进一步利用恒等式 \( \sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \)，但更直接的方法是注意到积分区间对称，可转换为： \[ I = \int_ {0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta d\theta = \frac{1}{2} \int_ {0}^{2\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta d\theta. \] 此处利用 \( \sin^2\theta \) 的周期性，但实际计算时需保持区间 \([ 0, \pi ]\)。 步骤3：应用高斯-勒让德公式的适配形式 变换后的积分 \( I = \int_ {0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta d\theta \) 仍非标准形式。但若令 \( u = \theta - \frac{\pi}{2} \)，则： \[ I = \int_ {-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin u) \cos^2 u du. \] 此时权函数 \( \cos^2 u \) 在区间对称，可进一步简化为区间 \([ -1,1]\) 上的积分。但更实用的方法是直接使用 高斯-切比雪夫求积公式 （第二类），其权函数为 \( \sqrt{1-x^2} \)，节点和权重有显式表达式： 节点： \( x_ k = \cos\frac{k\pi}{n+1} \quad (k=1,\dots,n) \) 权重： \( w_ k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\frac{k\pi}{n+1} \) 但本题要求使用高斯-勒让德公式，故需通过变换将权函数吸收。 步骤4：最终变换与节点权重计算 将原积分写为： \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \sqrt{1-x^2} dx = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x) \sqrt{1-x^2}}{1} dx. \] 若强行使用高斯-勒让德公式（节点 \( x_ i \)、权重 \( w_ i^{\text{Leg}} \)），则近似为： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i^{\text{Leg}} \cdot f(x_ i) \sqrt{1-x_ i^2}. \] 此方法等价于直接对待积函数 \( g(x)=f(x)\sqrt{1-x^2} \) 应用标准高斯-勒让德公式 ，无需额外推导节点权重。但若 \( f(x) \) 在端点奇异，需增加节点数以提高精度。 步骤5：误差分析 若 \( f(x) \) 光滑，则 \( g(x) = f(x)\sqrt{1-x^2} \) 在端点处趋于零，高斯-勒让德公式仍可有效收敛。 误差估计参考标准高斯-勒让德公式的余项： \[ E_ n = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \cdot \frac{2^{2n+1} (n!)^4}{(2n+1)[ (2n)! ]^2}, \quad \xi \in (-1,1). \] 但因 \( g(x) \) 可能不是多项式，实际误差需考虑 \( g(x) \) 的平滑性。 总结 ： 本题的关键在于通过变量变换将带权积分转化为标准形式，或直接对组合函数 \( g(x)=f(x)\omega(x) \) 应用高斯-勒让德公式。若追求更高效率，可选用匹配权函数的高斯-切比雪夫公式（第二类），但高斯-勒让德公式通过简单变换仍可适用。