xxx 最小直径生成树问题 题目描述 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边具有非负权重，目标是找到一棵生成树，使得其直径最小。生成树的直径定义为树中所有顶点对之间的最短路径的最大值（即树上任意两顶点间最短距离的最大值）。该问题在通信网络设计等领域有重要应用，例如需要最小化最坏情况下的传输延迟。 解题思路 最小直径生成树（Minimum Diameter Spanning Tree, MDST）问题可通过以下关键观察解决： 图的绝对中心 ：MDST的直径最小可能值为图的绝对中心对应的偏心距（eccentricity）。绝对中心是图中的一个点（可能在边上），使其到最远顶点的距离最小。 算法核心 ：先求出图的绝对中心，再以该中心为根构造最短路径树，即可得到MDST。 具体步骤分为两部分： 寻找绝对中心 ：利用所有顶点对的最短路径信息，在图的边集上搜索绝对中心的位置。 构建生成树 ：以绝对中心为根，通过最短路径扩展生成树。 详细步骤 步骤1：计算所有顶点对的最短路径 使用Floyd-Warshall算法或多次Dijkstra算法，计算所有顶点对之间的最短距离 \( d(u, v) \)。 时间复杂度：Floyd-Warshall为 \( O(|V|^3) \)，若图稀疏可改用 \(|V|\) 次Dijkstra（使用斐波那契堆为 \( O(|V||E| + |V|^2 \log |V|) \)）。 步骤2：寻找绝对中心 绝对中心可能位于顶点或边上。对于每条边 \( e = (u, v) \)（权重为 \( w(u,v) \)），考虑边上的点 \( p \)，设其距 \( u \) 的距离为 \( x \)（\( 0 \leq x \leq w(u,v) \)）。点 \( p \) 到任一顶点 \( s \) 的距离为： \[ \text{dist}(p, s) = \min(x + d(u, s),\, w(u,v) - x + d(v, s)) \] 绝对中心是边上的点 \( p \) 使得其到所有顶点的最大距离（即偏心距）最小。 方法 ：对每条边 \( e = (u, v) \)，考虑所有顶点 \( s \)，将 \( \text{dist}(p, s) \) 视为 \( x \) 的函数，得到一组分段线性函数。这些函数的上包络（upper envelope）的最小值点即为该边上可能的最小偏心距。通过比较所有边上的最小偏心距，全局最小值对应的点即为绝对中心。 实现技巧 ：对每条边，按顶点 \( s \) 对函数交点排序，线性扫描找到上包络的最小值（类似合并区间）。 步骤3：构建最小直径生成树 设找到的绝对中心为点 \( c^* \)（可能在边 \( (u,v) \) 上）。构建生成树的方法： 若 \( c^* \) 是顶点，直接以 \( c^* \) 为根，使用单源最短路径树（如Dijkstra算法）构建生成树。 若 \( c^* \) 在边 \( (u,v) \) 上，将边 \( (u,v) \) 加入树，然后分别从 \( u \) 和 \( v \) 出发，向其他顶点构建最短路径树（避免形成环）。 具体操作：将图分为两个集合，分别包含距 \( u \) 更近的顶点和距 \( v \) 更近的顶点，在各集合内构建最短路径树。 示例说明 考虑一个4顶点图：边 \( (A,B)=2, (B,C)=3, (C,D)=1, (D,A)=4 \)。 计算所有顶点对最短路径（略）。 检查每条边：例如边 \( (A,B) \)，计算每个顶点 \( s \) 到边上点 \( p \) 的距离函数，求上包络的最小值。比较所有边后，发现绝对中心在边 \( (B,C) \) 上某点。 以该点为中心，连接 \( B \) 和 \( C \)，再分别从 \( B \) 和 \( C \) 构建最短路径树，得到直径最小的生成树。 复杂度分析 主要开销在计算所有顶点对最短路径（\( O(|V|^3) \) 或 \( O(|V||E| + |V|^2 \log |V|) \)）。 寻找绝对中心需检查 \( O(|E|) \) 条边，每条边处理 \( O(|V|) \) 个顶点，排序成本 \( O(|V| \log |V|) \)，总时间 \( O(|V||E| \log |V|) \)。 整体复杂度由最短路径计算步骤主导。 总结 最小直径生成树问题通过图的绝对中心理论转化为最短路径计算和线性扫描问题，确保了生成树直径的最小性。该方法高效且易于实现，适用于实际网络优化问题。