非线性规划中的移动限界框架(MLF)算法基础题

字数 2569 2025-11-01 09:19:10

非线性规划中的移动限界框架(MLF)算法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
满足约束条件：
x₁² + x₂² ≤ 1
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题。移动限界框架(MLF)通过在每个迭代点构建一个简单的近似子问题（通常是线性或二次的），并通过移动的界限来控制近似质量，逐步逼近原问题的最优解。

解题过程

1. 算法基本原理
移动限界框架的核心思想是：

在当前迭代点 xₖ 处，构建目标函数和约束的局部近似模型
设置移动界限（信任域）来限制搜索范围，确保近似模型的有效性
求解近似子问题得到试探点
根据目标函数改进程度调整界限大小和接受试探点

2. 初始化
选择初始点 x₀ = [0.5, 0.5]（可行点，满足 x₁² + x₂² = 0.5 ≤ 1）
初始移动界限 δ₀ = 0.3
收敛容忍度 ε = 10⁻⁴
迭代计数器 k = 0

3. 第一次迭代 (k=0)

步骤3.1 计算当前点信息
当前点：x₀ = [0.5, 0.5]
目标函数值：f(x₀) = (0.5-2)⁴ + (0.5-1)² = (-1.5)⁴ + (-0.5)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125

梯度计算：
∇f(x) = [4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂)]
∇f(x₀) = [4(-1.5)³ + 2(-0.5), -4(-0.5)] = [4×(-3.375) - 1, 2] = [-13.5 - 1, 2] = [-14.5, 2]

步骤3.2 构建线性近似模型
在x₀处对目标函数进行一阶泰勒展开：
f̃(x) ≈ f(x₀) + ∇f(x₀)ᵀ(x - x₀)
= 5.3125 + [-14.5, 2]·[x₁-0.5, x₂-0.5]
= 5.3125 -14.5(x₁-0.5) + 2(x₂-0.5)

约束线性化：
g(x) = x₁² + x₂² - 1 ≤ 0
∇g(x) = [2x₁, 2x₂]
∇g(x₀) = [1, 1]
g̃(x) ≈ g(x₀) + ∇g(x₀)ᵀ(x - x₀) = -0.5 + 1×(x₁-0.5) + 1×(x₂-0.5) = x₁ + x₂ - 1.5

步骤3.3 构建移动限界子问题
最小化 f̃(x) = 5.3125 -14.5(x₁-0.5) + 2(x₂-0.5)
满足：
x₁ + x₂ ≤ 1.5（线性化约束）
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0（原始边界）
|x₁ - 0.5| ≤ 0.3, |x₂ - 0.5| ≤ 0.3（移动界限）

步骤3.4 求解子问题
由于目标函数中x₁的系数(-14.5)远小于x₂的系数(2)，应在界限内尽量减小x₁
最优解在界限边界：x₁ = 0.5 - 0.3 = 0.2, x₂ = 0.5（保持当前值）
验证可行性：0.2 + 0.5 = 0.7 ≤ 1.5，满足所有约束
试探点 x_trial = [0.2, 0.5]

步骤3.5 接受性检验
计算实际改进：Δf_actual = f(x₀) - f(x_trial) = 5.3125 - f([0.2,0.5])
f(x_trial) = (0.2-2)⁴ + (0.2-1)² = (-1.8)⁴ + (-0.8)² = 10.4976 + 0.64 = 11.1376
Δf_actual = 5.3125 - 11.1376 = -5.8251（目标函数值增加，不是改进）

预测改进：Δf_predicted = f̃(x₀) - f̃(x_trial) = 0 - (-14.5×(-0.3) + 2×0) = -4.35

改进比率 ρ = Δf_actual / Δf_predicted = -5.8251 / -4.35 ≈ 1.34

由于ρ > 1，说明实际改进比预测的还要差，拒绝该试探点，缩小移动界限。

步骤3.6 调整界限
缩小移动界限：δ₁ = 0.5 × δ₀ = 0.15
保持当前点不变：x₁ = x₀ = [0.5, 0.5]

4. 第二次迭代 (k=1)

步骤4.1 当前点信息
x₁ = [0.5, 0.5], f(x₁) = 5.3125
∇f(x₁) = [-14.5, 2]（与上次相同）

步骤4.2 构建新的移动界限子问题
最小化 f̃(x) = 5.3125 -14.5(x₁-0.5) + 2(x₂-0.5)
满足：
x₁ + x₂ ≤ 1.5
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0
|x₁ - 0.5| ≤ 0.15, |x₂ - 0.5| ≤ 0.15

步骤4.3 求解子问题
在更小的界限内搜索，x₁ = 0.5 - 0.15 = 0.35, x₂ = 0.5
x_trial = [0.35, 0.5]

步骤4.4 接受性检验
f(x_trial) = (0.35-2)⁴ + (0.35-1)² = (-1.65)⁴ + (-0.65)² = 7.4 + 0.4225 = 7.8225
Δf_actual = 5.3125 - 7.8225 = -2.51
Δf_predicted = 0 - (-14.5×(-0.15)) = -2.175
ρ = -2.51 / -2.175 ≈ 1.15 > 1，仍然拒绝

步骤4.5 继续调整界限
δ₂ = 0.5 × δ₁ = 0.075

5. 第三次迭代及收敛

经过几次界限调整后，当δ足够小时，线性近似在局部足够精确。最终算法会找到改进方向并收敛到局部最优点。

在x* = [0.8, 0.6]附近（满足x₁² + x₂² = 1），f(x*) ≈ 2.0，这是该问题的一个局部最优解。

6. 算法总结
移动限界框架通过控制近似模型的适用范围来平衡收敛速度和稳定性。当近似质量好时扩大界限加速收敛，当近似质量差时缩小界限保证稳定性。这种方法特别适合具有复杂非线性约束的优化问题。

非线性规划中的移动限界框架(MLF)算法基础题题目描述考虑非线性规划问题：最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： x₁² + x₂² ≤ 1 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题。移动限界框架(MLF)通过在每个迭代点构建一个简单的近似子问题（通常是线性或二次的），并通过移动的界限来控制近似质量，逐步逼近原问题的最优解。解题过程 1. 算法基本原理移动限界框架的核心思想是：在当前迭代点 xₖ 处，构建目标函数和约束的局部近似模型设置移动界限（信任域）来限制搜索范围，确保近似模型的有效性求解近似子问题得到试探点根据目标函数改进程度调整界限大小和接受试探点 2. 初始化选择初始点 x₀ = [ 0.5, 0.5 ]（可行点，满足 x₁² + x₂² = 0.5 ≤ 1）初始移动界限 δ₀ = 0.3 收敛容忍度 ε = 10⁻⁴ 迭代计数器 k = 0 3. 第一次迭代 (k=0) 步骤3.1 计算当前点信息当前点：x₀ = [ 0.5, 0.5 ] 目标函数值：f(x₀) = (0.5-2)⁴ + (0.5-1)² = (-1.5)⁴ + (-0.5)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 梯度计算： ∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ] ∇f(x₀) = [ 4(-1.5)³ + 2(-0.5), -4(-0.5)] = [ 4×(-3.375) - 1, 2] = [ -13.5 - 1, 2] = [ -14.5, 2 ] 步骤3.2 构建线性近似模型在x₀处对目标函数进行一阶泰勒展开： f̃(x) ≈ f(x₀) + ∇f(x₀)ᵀ(x - x₀) = 5.3125 + [ -14.5, 2]·[ x₁-0.5, x₂-0.5 ] = 5.3125 -14.5(x₁-0.5) + 2(x₂-0.5) 约束线性化： g(x) = x₁² + x₂² - 1 ≤ 0 ∇g(x) = [ 2x₁, 2x₂ ] ∇g(x₀) = [ 1, 1 ] g̃(x) ≈ g(x₀) + ∇g(x₀)ᵀ(x - x₀) = -0.5 + 1×(x₁-0.5) + 1×(x₂-0.5) = x₁ + x₂ - 1.5 步骤3.3 构建移动限界子问题最小化 f̃(x) = 5.3125 -14.5(x₁-0.5) + 2(x₂-0.5) 满足： x₁ + x₂ ≤ 1.5（线性化约束） x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0（原始边界） |x₁ - 0.5| ≤ 0.3, |x₂ - 0.5| ≤ 0.3（移动界限）步骤3.4 求解子问题由于目标函数中x₁的系数(-14.5)远小于x₂的系数(2)，应在界限内尽量减小x₁ 最优解在界限边界：x₁ = 0.5 - 0.3 = 0.2, x₂ = 0.5（保持当前值）验证可行性：0.2 + 0.5 = 0.7 ≤ 1.5，满足所有约束试探点 x_ trial = [ 0.2, 0.5 ] 步骤3.5 接受性检验计算实际改进：Δf_ actual = f(x₀) - f(x_ trial) = 5.3125 - f([ 0.2,0.5 ]) f(x_ trial) = (0.2-2)⁴ + (0.2-1)² = (-1.8)⁴ + (-0.8)² = 10.4976 + 0.64 = 11.1376 Δf_ actual = 5.3125 - 11.1376 = -5.8251（目标函数值增加，不是改进）预测改进：Δf_ predicted = f̃(x₀) - f̃(x_ trial) = 0 - (-14.5×(-0.3) + 2×0) = -4.35 改进比率 ρ = Δf_ actual / Δf_ predicted = -5.8251 / -4.35 ≈ 1.34 由于ρ > 1，说明实际改进比预测的还要差，拒绝该试探点，缩小移动界限。步骤3.6 调整界限缩小移动界限：δ₁ = 0.5 × δ₀ = 0.15 保持当前点不变：x₁ = x₀ = [ 0.5, 0.5 ] 4. 第二次迭代 (k=1) 步骤4.1 当前点信息 x₁ = [ 0.5, 0.5 ], f(x₁) = 5.3125 ∇f(x₁) = [ -14.5, 2 ]（与上次相同）步骤4.2 构建新的移动界限子问题最小化 f̃(x) = 5.3125 -14.5(x₁-0.5) + 2(x₂-0.5) 满足： x₁ + x₂ ≤ 1.5 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 |x₁ - 0.5| ≤ 0.15, |x₂ - 0.5| ≤ 0.15 步骤4.3 求解子问题在更小的界限内搜索，x₁ = 0.5 - 0.15 = 0.35, x₂ = 0.5 x_ trial = [ 0.35, 0.5 ] 步骤4.4 接受性检验 f(x_ trial) = (0.35-2)⁴ + (0.35-1)² = (-1.65)⁴ + (-0.65)² = 7.4 + 0.4225 = 7.8225 Δf_ actual = 5.3125 - 7.8225 = -2.51 Δf_ predicted = 0 - (-14.5×(-0.15)) = -2.175 ρ = -2.51 / -2.175 ≈ 1.15 > 1，仍然拒绝步骤4.5 继续调整界限 δ₂ = 0.5 × δ₁ = 0.075 5. 第三次迭代及收敛经过几次界限调整后，当δ足够小时，线性近似在局部足够精确。最终算法会找到改进方向并收敛到局部最优点。在x* = [ 0.8, 0.6]附近（满足x₁² + x₂² = 1），f(x* ) ≈ 2.0，这是该问题的一个局部最优解。 6. 算法总结移动限界框架通过控制近似模型的适用范围来平衡收敛速度和稳定性。当近似质量好时扩大界限加速收敛，当近似质量差时缩小界限保证稳定性。这种方法特别适合具有复杂非线性约束的优化问题。