核岭回归（Kernel Ridge Regression）算法的原理与计算过程
字数 1851 2025-10-31 22:46:15

核岭回归（Kernel Ridge Regression）算法的原理与计算过程

题目描述
核岭回归（Kernel Ridge Regression, KRR）是结合核技巧（Kernel Trick）与岭回归（Ridge Regression）的机器学习算法，用于解决非线性回归问题。给定训练数据集 \(\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n\)（其中 \(x_i \in \mathbb{R}^d\)，\(y_i \in \mathbb{R}\)），KRR 的目标是学习一个非线性映射函数 \(f(x)\)，使得预测值 \(f(x_i)\) 与真实值 \(y_i\) 的误差最小化，同时通过岭正则化避免过拟合。要求详细解释其数学原理、核函数的作用，以及如何通过矩阵运算求解模型参数。

解题过程

  1. 岭回归的线性基础
    • 岭回归在线性回归的损失函数中加入 L2 正则化项，优化目标为：

\[ \min_{w \in \mathbb{R}^d} \sum_{i=1}^n (y_i - w^T x_i)^2 + \lambda \|w\|^2, \]

 其中 $ \lambda > 0 $ 是正则化系数。其闭式解为：

\[ w = (X^T X + \lambda I)^{-1} X^T y, \]

 这里 $ X \in \mathbb{R}^{n \times d} $ 是特征矩阵，$ y \in \mathbb{R}^n $ 是标签向量。

  1. 从线性到非线的核技巧

    • 若数据非线性可分，可通过映射函数 \(\phi(x)\) 将原始特征 \(x\) 映射到高维空间，得到线性模型 \(f(x) = w^T \phi(x)\)。但直接计算 \(\phi(x)\) 可能维度极高（甚至无限维），导致计算不可行。
    • 核技巧的核心思想是：避免显式计算 \(\phi(x)\)，而是通过核函数 \(K(x_i, x_j) = \phi(x_i)^T \phi(x_j)\) 隐式实现高维空间的内积运算。常用核函数包括高斯核 \(K(x_i, x_j) = \exp(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2})\)。

  2. 核岭回归的推导

    • 将岭回归的解重写为 \(w = \sum_{i=1}^n \alpha_i \phi(x_i)\)（表示定理保证最优解在 \(\phi(x_i)\) 的张成空间中）。代入岭回归目标函数，得到关于 \(\alpha = [\alpha_1, \dots, \alpha_n]^T\) 的优化问题：

\[ \min_{\alpha} \|y - K\alpha\|^2 + \lambda \alpha^T K \alpha, \]

 其中 $ K \in \mathbb{R}^{n \times n} $ 是核矩阵，满足 $ K_{ij} = K(x_i, x_j) $。
  • 求导并令导数为零，得到解：

\[ \alpha = (K + \lambda I)^{-1} y. \]

 预测时，对新样本 $ x_* $ 的输出为：

\[ f(x_*) = \sum_{i=1}^n \alpha_i K(x_*, x_i). \]

  1. 计算步骤与复杂度分析

    • 步骤1：计算核矩阵 \(K\)，需 \(O(n^2 d)\) 时间。
    • 步骤2：求解线性方程组 \((K + \lambda I) \alpha = y\)，通过Cholesky分解或共轭梯度法，复杂度为 \(O(n^3)\)。
    • 步骤3：预测时需计算新样本与所有训练样本的核函数，复杂度 \(O(nd)\)。
    • KRR 的瓶颈在于核矩阵求逆，适用于中小规模数据集。

  2. 与支持向量回归（SVR）的对比

    • KRR 的解稠密（所有样本对 \(\alpha\) 有贡献），而 SVR 的解稀疏（仅支持向量有贡献）；
    • KRR 的求解更简单（闭式解），SVR 需优化凸二次规划问题；
    • 两者均能处理非线性，但 KRR 对噪声更敏感（无稀疏性约束）。

关键点总结

  • KRR 通过核函数隐式实现非线性映射，避免显式高维计算；
  • 正则项 \(\lambda\) 控制模型复杂度，平衡拟合与泛化；
  • 计算效率依赖核矩阵求逆，需注意样本规模对性能的影响。
核岭回归（Kernel Ridge Regression）算法的原理与计算过程 题目描述 核岭回归（Kernel Ridge Regression, KRR）是结合核技巧（Kernel Trick）与岭回归（Ridge Regression）的机器学习算法，用于解决非线性回归问题。给定训练数据集 \( \{(x_ i, y_ i)\}_ {i=1}^n \)（其中 \( x_ i \in \mathbb{R}^d \)，\( y_ i \in \mathbb{R} \)），KRR 的目标是学习一个非线性映射函数 \( f(x) \)，使得预测值 \( f(x_ i) \) 与真实值 \( y_ i \) 的误差最小化，同时通过岭正则化避免过拟合。要求详细解释其数学原理、核函数的作用，以及如何通过矩阵运算求解模型参数。 解题过程 岭回归的线性基础 岭回归在线性回归的损失函数中加入 L2 正则化项，优化目标为： \[ \min_ {w \in \mathbb{R}^d} \sum_ {i=1}^n (y_ i - w^T x_ i)^2 + \lambda \|w\|^2, \] 其中 \( \lambda > 0 \) 是正则化系数。其闭式解为： \[ w = (X^T X + \lambda I)^{-1} X^T y, \] 这里 \( X \in \mathbb{R}^{n \times d} \) 是特征矩阵，\( y \in \mathbb{R}^n \) 是标签向量。 从线性到非线的核技巧 若数据非线性可分，可通过映射函数 \( \phi(x) \) 将原始特征 \( x \) 映射到高维空间，得到线性模型 \( f(x) = w^T \phi(x) \)。但直接计算 \( \phi(x) \) 可能维度极高（甚至无限维），导致计算不可行。 核技巧的核心思想是：避免显式计算 \( \phi(x) \)，而是通过核函数 \( K(x_ i, x_ j) = \phi(x_ i)^T \phi(x_ j) \) 隐式实现高维空间的内积运算。常用核函数包括高斯核 \( K(x_ i, x_ j) = \exp(-\frac{\|x_ i - x_ j\|^2}{2\sigma^2}) \)。 核岭回归的推导 将岭回归的解重写为 \( w = \sum_ {i=1}^n \alpha_ i \phi(x_ i) \)（表示定理保证最优解在 \( \phi(x_ i) \) 的张成空间中）。代入岭回归目标函数，得到关于 \( \alpha = [ \alpha_ 1, \dots, \alpha_ n ]^T \) 的优化问题： \[ \min_ {\alpha} \|y - K\alpha\|^2 + \lambda \alpha^T K \alpha, \] 其中 \( K \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是核矩阵，满足 \( K_ {ij} = K(x_ i, x_ j) \)。 求导并令导数为零，得到解： \[ \alpha = (K + \lambda I)^{-1} y. \] 预测时，对新样本 \( x_* \) 的输出为： \[ f(x_ ) = \sum_ {i=1}^n \alpha_ i K(x_ , x_ i). \] 计算步骤与复杂度分析 步骤1 ：计算核矩阵 \( K \)，需 \( O(n^2 d) \) 时间。 步骤2 ：求解线性方程组 \( (K + \lambda I) \alpha = y \)，通过Cholesky分解或共轭梯度法，复杂度为 \( O(n^3) \)。 步骤3 ：预测时需计算新样本与所有训练样本的核函数，复杂度 \( O(nd) \)。 KRR 的瓶颈在于核矩阵求逆，适用于中小规模数据集。 与支持向量回归（SVR）的对比 KRR 的解稠密（所有样本对 \( \alpha \) 有贡献），而 SVR 的解稀疏（仅支持向量有贡献）； KRR 的求解更简单（闭式解），SVR 需优化凸二次规划问题； 两者均能处理非线性，但 KRR 对噪声更敏感（无稀疏性约束）。 关键点总结 KRR 通过核函数隐式实现非线性映射，避免显式高维计算； 正则项 \( \lambda \) 控制模型复杂度，平衡拟合与泛化； 计算效率依赖核矩阵求逆，需注意样本规模对性能的影响。