高斯-勒让德求积公式在有限区间振荡函数积分中的变换技巧
题目描述
计算定积分
\[I = \int_{-1}^{1} \cos(20x) \cdot \sqrt{1 - x^2} dx \]
被积函数在区间 \([-1, 1]\) 内高频振荡，且带有权函数 \(\sqrt{1 - x^2}\)。要求利用高斯-勒让德求积公式计算该积分，并解决振荡函数导致的数值困难。
解题过程循序渐进讲解
1. 问题难点分析
- 高斯-勒让德求积公式适用于积分 \(\int_{-1}^{1} f(x)dx\)，但本例中被积函数包含权函数 \(\sqrt{1 - x^2}\)，直接使用会损失精度。
- \(\cos(20x)\) 的高频振荡特性需要密集采样点，而高斯-勒让德公式的节点分布固定，可能无法捕捉振荡。
2. 权函数处理策略
将积分改写为：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(20x) \cdot \sqrt{1 - x^2}}{1} dx \]
若直接应用高斯-勒让德公式（权函数为 1），需计算被积函数 \(f(x) = \cos(20x)\sqrt{1 - x^2}\)。但更高效的方法是利用高斯-切比雪夫求积公式（权函数为 \(1/\sqrt{1 - x^2}\)）：
\[I = \int_{-1}^{1} \cos(20x) \cdot \sqrt{1 - x^2} dx = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(20x) (1 - x^2)}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} dx \]
实际上，高斯-切比雪夫公式（第一类）的权函数为 \(1/\sqrt{1 - x^2}\)，因此需构造新被积函数：
令 \(g(x) = \cos(20x)(1 - x^2)\)，则原积分变为：
\[I = \int_{-1}^{1} g(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \]
此形式可直接应用n点高斯-切比雪夫求积公式：
\[I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} g\left( \cos\left( \frac{2k-1}{2n}\pi \right) \right) = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos\left(20\cos\theta_k\right) \cdot \sin^2\theta_k \]
其中 \(\theta_k = \frac{2k-1}{2n}\pi\)，\(x_k = \cos\theta_k\)，利用了 \(1 - x_k^2 = \sin^2\theta_k\)。
3. 处理振荡函数的技巧
- 高斯-切比雪夫公式的节点 \(x_k = \cos\theta_k\) 在区间端点密集分布，利于捕捉边界振荡。
- 但 \(\cos(20x)\) 振荡频率高，需增加节点数 \(n\) 以满足采样定理。经验上要求 \(n > 20/\pi \approx 6.37\)，但实际需更大 \(n\) 保证精度。
- 振荡函数的通用变换技巧：若被积函数为 \(\cos(\omega x) \cdot w(x)\)，可尝试分部积分或傅里叶变换，但本例中权函数特殊，直接采用高斯-切比雪夫公式即可。
4. 数值计算步骤
以 \(n=50\) 为例：
- 计算节点：\(\theta_k = \frac{2k-1}{100}\pi,\quad k=1,2,\dots,50\)
- 计算 \(x_k = \cos\theta_k\)
- 计算被积项：\(g_k = \cos(20x_k) \cdot \sin^2\theta_k\)
- 求和：\(I \approx \frac{\pi}{50} \sum_{k=1}^{50} g_k\)
5. 误差分析
- 高斯-切比雪夫公式对光滑函数具有指数收敛性，但振荡函数会降低收敛速度。
- 误差主要来源于振荡分量：若 \(n\) 不足，节点无法分辨 \(\cos(20x)\) 的振荡周期。
- 实际计算中可通过增加 \(n\) 观察结果变化，直到积分值稳定。
6. 与直接高斯-勒让德公式的对比
若坚持使用高斯-勒让德公式，需计算：
\[I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i^{\text{GL}} \cdot \cos(20x_i^{\text{GL}}) \sqrt{1 - (x_i^{\text{GL}})^2} \]
但需更多节点才能达到相同精度，因为节点分布不如切比雪夫节点适合振荡函数。
关键结论
对于带权函数的振荡积分，应优先选择与权函数匹配的高斯求积公式（本例为高斯-切比雪夫公式），再利用节点分布特性自然处理振荡问题。该方法避免了显式变换，且收敛性优于直接使用高斯-勒让德公式。