马尔可夫链（Markov Chain）的平稳分布与收敛性分析
字数 1628 2025-10-31 22:46:15

马尔可夫链（Markov Chain）的平稳分布与收敛性分析

题目描述
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的随机过程，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态，与过去状态无关。平稳分布是马尔可夫链的重要性质，指当链达到某一状态分布后，后续状态分布保持不变。本题要求：

  1. 解释马尔可夫链的基本定义与转移矩阵；
  2. 推导平稳分布的存在条件与计算方法；
  3. 分析链的收敛性（即从任意初始分布能否收敛到平稳分布）。

解题过程

1. 马尔可夫链的定义与转移矩阵

  • 定义：设随机过程 \(\{X_t, t=0,1,2,...\}\) 的状态空间为有限集 \(S = \{s_1, s_2, ..., s_n\}\)。若满足：

\[ P(X_{t+1} = s_j \mid X_t = s_i, X_{t-1}, ..., X_0) = P(X_{t+1} = s_j \mid X_t = s_i), \]

则称该过程为离散时间马尔可夫链。

  • 转移矩阵：定义转移概率 \(P_{ij} = P(X_{t+1} = s_j \mid X_t = s_i)\)，则转移矩阵 \(P\) 是一个 \(n \times n\) 矩阵，满足：
    • \(P_{ij} \geq 0\)（非负性）；
    • 每行元素之和为 1（即 \(\sum_j P_{ij} = 1\)）。
  • 示例：假设天气状态为{晴, 雨}，转移矩阵为：

\[ P = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 \end{bmatrix}, \]

表示晴天转雨天的概率为 0.2，雨天转晴天的概率为 0.3。

2. 平稳分布的定义与计算

  • 定义：概率分布 \(\pi = (\pi_1, \pi_2, ..., \pi_n)\) 称为平稳分布，若满足：

\[ \pi P = \pi \quad \text{且} \quad \sum_i \pi_i = 1, \ \pi_i \geq 0. \]

这意味着一旦状态分布为 \(\pi\)，后续分布保持不变。

  • 计算方法：
    1. 解线性方程组 \(\pi P = \pi\)（即 \(\pi (P - I) = 0\)，其中 \(I\) 为单位矩阵）；
    2. 结合归一化条件 \(\sum_i \pi_i = 1\) 求解。
  • 示例：对上述天气模型，解方程：

\[ \begin{cases} \pi_1 = 0.8\pi_1 + 0.3\pi_2 \\ \pi_2 = 0.2\pi_1 + 0.7\pi_2 \\ \pi_1 + \pi_2 = 1 \end{cases} \]

解得 \(\pi_1 = 0.6, \pi_2 = 0.4\)。即长期下，晴天概率为 60%，雨天为 40%。

3. 收敛性分析

  • 不可约性：若从任意状态可到达另一状态（即状态间互通），则链不可约。
  • 非周期性：若所有状态的最大公约循环长度为 1，则链非周期。
  • 收敛定理：若有限状态马尔可夫链不可约且非周期，则存在唯一平稳分布 \(\pi\)，且对任意初始分布 \(\mu^{(0)}\)：

\[ \lim_{t \to \infty} \mu^{(0)} P^t = \pi. \]

  • 直观理解：不可约性保证所有状态被频繁访问，非周期性避免振荡，从而确保收敛。
  • 示例验证：天气模型中，\(P\) 的所有元素为正，显然不可约且非周期。计算 \(P^t\)（如 \(t=10\)）可验证各行收敛到 \((0.6, 0.4)\)。

总结
平稳分布是马尔可夫链的长期行为描述，通过线性方程组求解。收敛性需满足不可约性和非周期性条件，保证从任意起点均趋近平稳分布。此性质广泛应用于蒙特卡洛方法、排队论等领域。

马尔可夫链（Markov Chain）的平稳分布与收敛性分析 题目描述 马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的随机过程，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态，与过去状态无关。平稳分布是马尔可夫链的重要性质，指当链达到某一状态分布后，后续状态分布保持不变。本题要求： 解释马尔可夫链的基本定义与转移矩阵； 推导平稳分布的存在条件与计算方法； 分析链的收敛性（即从任意初始分布能否收敛到平稳分布）。 解题过程 1. 马尔可夫链的定义与转移矩阵 定义 ：设随机过程 \( \{X_ t, t=0,1,2,...\} \) 的状态空间为有限集 \( S = \{s_ 1, s_ 2, ..., s_ n\} \)。若满足： \[ P(X_ {t+1} = s_ j \mid X_ t = s_ i, X_ {t-1}, ..., X_ 0) = P(X_ {t+1} = s_ j \mid X_ t = s_ i), \] 则称该过程为离散时间马尔可夫链。 转移矩阵 ：定义转移概率 \( P_ {ij} = P(X_ {t+1} = s_ j \mid X_ t = s_ i) \)，则转移矩阵 \( P \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，满足： \( P_ {ij} \geq 0 \)（非负性）； 每行元素之和为 1（即 \( \sum_ j P_ {ij} = 1 \)）。 示例 ：假设天气状态为{晴, 雨}，转移矩阵为： \[ P = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 \end{bmatrix}, \] 表示晴天转雨天的概率为 0.2，雨天转晴天的概率为 0.3。 2. 平稳分布的定义与计算 定义 ：概率分布 \( \pi = (\pi_ 1, \pi_ 2, ..., \pi_ n) \) 称为平稳分布，若满足： \[ \pi P = \pi \quad \text{且} \quad \sum_ i \pi_ i = 1, \ \pi_ i \geq 0. \] 这意味着一旦状态分布为 \( \pi \)，后续分布保持不变。 计算方法 ： 解线性方程组 \( \pi P = \pi \)（即 \( \pi (P - I) = 0 \)，其中 \( I \) 为单位矩阵）； 结合归一化条件 \( \sum_ i \pi_ i = 1 \) 求解。 示例 ：对上述天气模型，解方程： \[ \begin{cases} \pi_ 1 = 0.8\pi_ 1 + 0.3\pi_ 2 \\ \pi_ 2 = 0.2\pi_ 1 + 0.7\pi_ 2 \\ \pi_ 1 + \pi_ 2 = 1 \end{cases} \] 解得 \( \pi_ 1 = 0.6, \pi_ 2 = 0.4 \)。即长期下，晴天概率为 60%，雨天为 40%。 3. 收敛性分析 不可约性 ：若从任意状态可到达另一状态（即状态间互通），则链不可约。 非周期性 ：若所有状态的最大公约循环长度为 1，则链非周期。 收敛定理 ：若有限状态马尔可夫链不可约且非周期，则存在唯一平稳分布 \( \pi \)，且对任意初始分布 \( \mu^{(0)} \)： \[ \lim_ {t \to \infty} \mu^{(0)} P^t = \pi. \] 直观理解 ：不可约性保证所有状态被频繁访问，非周期性避免振荡，从而确保收敛。 示例验证 ：天气模型中，\( P \) 的所有元素为正，显然不可约且非周期。计算 \( P^t \)（如 \( t=10 \)）可验证各行收敛到 \( (0.6, 0.4) \)。 总结 平稳分布是马尔可夫链的长期行为描述，通过线性方程组求解。收敛性需满足不可约性和非周期性条件，保证从任意起点均趋近平稳分布。此性质广泛应用于蒙特卡洛方法、排队论等领域。