基于线性规划的单纯形法退化与循环问题处理示例 题目描述 考虑以下经典的线性规划退化与循环问题： 最大化目标函数：z = (3/4)x₁ - 20x₂ + (1/2)x₃ - 6x₄ 约束条件： x₁ - (1/4)x₂ - 8x₃ - 9x₄ = 0 (1/2)x₁ - 12x₂ - (1/2)x₃ + 3x₄ = 0 x₃ ≤ 1 x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0 这是一个专门设计用于展示单纯形法可能陷入循环的经典问题。在退化情况下，即使目标函数值没有改进，基变量也可能在几个基解之间循环，导致算法无法收敛。 解题过程 第一步：标准化问题 首先将问题转化为标准形式： 最大化：z = (3/4)x₁ - 20x₂ + (1/2)x₃ - 6x₄ 约束： x₁ - (1/4)x₂ - 8x₃ - 9x₄ = 0 (1/2)x₁ - 12x₂ - (1/2)x₃ + 3x₄ = 0 x₃ + x₅ = 1（引入松弛变量x₅） x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ ≥ 0 第二步：构造初始单纯形表 初始基变量选择为{x₁, x₂, x₅}： 基变量 | x₁ | x₂ | x₃ | x₄ | x₅ | RHS --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- x₁ | 1 | -1/4 | -8 | -9 | 0 | 0 x₂ | 1/2 | -12 | -1/2 | 3 | 0 | 0 x₅ | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 z | -3/4 | 20 | -1/2 | 6 | 0 | 0 第三步：识别退化现象 观察初始表，基变量x₁和x₂对应的RHS值都为0，这表明当前基解是退化的。在退化顶点，一个或多个基变量取值为0。 第四步：第一次迭代 选择进基变量：根据最大减少检验，x₁的检验数为-3/4（最小负值） 确定出基变量：计算比值θ = min{0/1, 0/(1/2)} = 0 由于比值都为0，出现退化情况，任意选择x₂出基。 更新单纯形表后得到新的基{x₁, x₃, x₅}，但目标函数值z=0没有改变。 第五步：后续迭代与循环检测 继续迭代过程： 第二次迭代：x₄进基，x₃出基 第三次迭代：x₅进基，x₄出基 第四次迭代：x₂进基，x₁出基 第五次迭代：x₃进基，x₅出基 第六次迭代：x₁进基，x₂出基 经过六次迭代后，基变量又回到了初始的{x₁, x₂, x₅}，形成了循环。 第六步：循环处理策略 当检测到循环时，需要采用防循环规则： Bland规则 ：选择下标最小的检验数为负的变量进基，当下标最小的基变量出基 摄动法 ：对约束右端项施加微小扰动，消除退化 字典序法 ：使用字典序规则确定出基变量 应用Bland规则：始终选择下标最小的负检验数变量进基，当下标最小的基变量出基。 第七步：使用Bland规则求解 重新从初始表开始，严格按照Bland规则： 第一次迭代：选择x₁进基（下标最小），x₂出基 后续迭代严格按照下标顺序选择进基和出基变量 经过几次迭代后，算法成功跳出循环，找到最优解。 总结 这个示例展示了单纯形法在退化情况下可能出现的循环问题，以及如何通过Bland规则等防循环策略来保证算法的收敛性。在实际应用中，现代单纯形法实现都会内置防循环机制。