凸多边形的最优三角剖分问题 题目描述 给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序编号为v₀, v₁, ..., vₙ₋₁（n≥3）。每个顶点对应一个权重wᵢ。将多边形三角剖分（即用n-3条不相交的对角线将多边形划分成n-2个三角形）后，每个三角形的得分为其三个顶点权重之和。求所有三角剖分中，所有三角形得分总和的最小值。 解题过程 1. 问题分析 凸多边形的三角剖分方案有多种，我们需要找到总分最小的那个。 由于是凸多边形，任意两个不相邻顶点之间的对角线都位于多边形内部。 问题具有最优子结构性质：整个多边形的最优剖分包含子多边形（也是凸多边形）的最优剖分。 2. 状态定义 定义dp[ i][ j]表示从顶点i到顶点j（按顺时针顺序）形成的凸多边形的最优三角剖分得分（i < j）。 3. 状态转移方程 当多边形只有两个顶点时（j-i = 1），无法形成三角形，dp[ i][ j ] = 0 当多边形有三个顶点时（j-i = 2），形成一个三角形，dp[ i][ j ] = wᵢ + wᵢ₊₁ + wⱼ 对于更大的多边形（j-i ≥ 2）： 选择顶点k（i < k < j）作为中间点 将多边形划分为：三角形(i,k,j)和两个子多边形(i,i+1,...,k)和(k,k+1,...,j) 总得分 = dp[ i][ k] + dp[ k][ j ] + (wᵢ + wₖ + wⱼ) dp[ i][ j] = min(dp[ i][ k] + dp[ k][ j ] + wᵢ + wₖ + wⱼ) 对所有k∈(i,j) 4. 计算顺序 按区间长度从小到大计算： 计算所有长度为2的区间（3个顶点） 计算所有长度为3的区间（4个顶点） ... 计算长度为n-1的区间（整个多边形） 5. 具体计算示例 假设n=4，顶点权重为[ 1, 2, 3, 4 ]： dp[ 0][ 2 ] = w₀ + w₁ + w₂ = 1+2+3 = 6（三角形0-1-2） dp[ 1][ 3 ] = w₁ + w₂ + w₃ = 2+3+4 = 9（三角形1-2-3） dp[ 0][ 3 ] = min( dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 3 ] + w₀ + w₁ + w₃ = 0 + 9 + 1+2+4 = 16, dp[ 0][ 2] + dp[ 2][ 3 ] + w₀ + w₂ + w₃ = 6 + 0 + 1+3+4 = 14 ) = 14 6. 最终结果 整个多边形的最优剖分得分为dp[ 0][ n-1 ]。 7. 算法复杂度 时间复杂度：O(n³)，需要三层循环 空间复杂度：O(n²)，用于存储dp表 这种方法的优势在于系统地考虑了所有可能的剖分方案，通过动态规划避免了重复计算，保证了找到全局最优解。