自适应高斯-克朗罗德积分法在奇异函数积分中的应用 题目描述 考虑计算定积分 \( I = \int_ {0}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \, dx \)。该积分在 \( x = 0 \) 处存在奇异性（被积函数趋于无穷大），直接使用标准数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）可能因奇点附近误差剧增而失败。要求基于自适应高斯-克朗罗德积分法设计一个数值积分方案，有效处理此类奇异积分，并分析其误差控制策略。 解题过程 问题分析 被积函数 \( f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \) 在 \( x=0 \) 时分母为零，导致函数值无界，但积分本身收敛（因为 \( \int_ {0}^{1} x^{-1/2} dx \) 收敛）。 关键挑战：奇点附近函数变化剧烈，需在奇点区域采用更精细的局部计算，而远离奇点处可适当放宽精度要求。 自适应高斯-克朗罗德积分法原理 基础公式 ：在区间 \([ a,b ]\) 上，高斯-克朗罗德公式结合 \( n \)-点高斯求积（精度 \( 2n-1 \)）和 \( n+1 \)-点克朗罗德扩展（精度 \( 3n+1 \)），通过两者差值估计局部误差。 自适应策略 ：若子区间误差超过阈值，则将该区间二分，递归处理直至满足精度要求。 优势 ：高阶精度能更好捕捉奇点附近行为，自适应细分避免全局均匀划分的低效性。 处理奇异性的适应性调整 奇点识别 ：将积分区间 \([ 0,1 ]\) 的左端点 \( x=0 \) 标记为奇点，初始划分时优先在奇点附近加密。 误差权重调整 ：在奇点附近子区间（如 \([ 0,\epsilon]\)）设置更严格的误差容限，例如将全局容限 \( \tau \) 缩放为 \( \tau \cdot \sqrt{x_ {\text{mid}}} \) 以平衡不同区域的精度需求。 计算步骤 步骤1：区间初始化 初始区间设为 \([ 0,1 ]\)，设定全局误差容限 \( \tau = 10^{-6} \)。 步骤2：高斯-克朗罗德局部计算 以子区间 \([ a,b ]\) 为例： 计算高斯求积值 \( G \)（例如用7点高斯公式，精度13阶）。 计算克朗罗德值 \( K \)（15点扩展，精度29阶）。 局部误差估计： \( E = |K - G| \)。 步骤3：自适应决策 若 \( E \leq \tau \cdot (b-a) / (1-0) \)（按区间长度比例分配容限），接受 \( K \) 作为该区间积分值。 若 \( E \) 超限，将 \([ a,b ]\) 二分，递归处理两个子区间。 奇点特殊处理 ：对于包含 \( x=0 \) 的子区间（如 \([ 0,c ]\)），将容限收紧为 \( \tau \cdot \min(1, \sqrt{c}) \)。 步骤4：递归终止与结果汇总 当所有子区间均满足误差要求时，求和各区间贡献值，得到积分近似结果。 误差控制与收敛性 由于高斯-克朗罗德公式在光滑区间的高精度性，奇点附近通过细分逐步降低函数波动性，确保误差可控。 理论保证：若 \( f(x) \) 在 \((0,1]\) 上光滑，且奇点类型为 \( x^{-p} \)（\( 0<p <1 \)），自适应算法能保持收敛。 示例计算结果 对该问题，自适应高斯-克朗罗德法通常需在 \([ 0, 0.01 ]\) 内进行多轮细分，最终积分值约 \( 1.809048 \)，与解析解 \( \sqrt{2\pi} \cdot C(\sqrt{2/\pi}) \approx 1.80905 \)（其中 \( C \) 为菲涅尔余弦积分）高度一致。 总结 通过结合高斯-克朗罗德公式的高精度和自适应性，并针对奇点调整误差容限，该方法能有效处理奇异积分问题，避免全局划分的资源浪费，兼顾计算效率与稳定性。