高斯-切比雪夫求积公式在带权积分中的应用

题目描述
计算带权积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)，其中 \(f(x) = e^{-x^2}\)。要求利用高斯-切比雪夫求积公式，通过 \(n=3\) 个节点近似该积分，并分析其与精确值的误差。

解题过程

1. 理解高斯-切比雪夫公式
   • 该公式针对权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的积分，节点为切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的零点。
   • \(n\) 个节点的求积公式为：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \right) \]

• 公式具有最高代数精度 \(2n-1\)，且所有权重恒为 \(\frac{\pi}{n}\)。

2. 计算节点与函数值（n=3）
   • 节点由 \(x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right)\) 确定：

\[ \begin{aligned} x_1 &= \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866025, \\ x_2 &= \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0, \\ x_3 &= \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866025. \end{aligned} \]

• 计算 \(f(x_k) = e^{-x_k^2}\)：

\[ \begin{aligned} f(x_1) &= e^{-(0.866025)^2} \approx e^{-0.75} \approx 0.47237, \\ f(x_2) &= e^{0} = 1, \\ f(x_3) &= e^{-0.75} \approx 0.47237. \end{aligned} \]

3. 应用求积公式
   • 代入公式：

\[ I \approx \frac{\pi}{3} \left[ f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) \right] = \frac{\pi}{3} (0.47237 + 1 + 0.47237) \approx \frac{\pi}{3} \times 1.94474. \]

• 计算结果：

\[ I \approx 2.036 \, (\text{取} \pi \approx 3.1416). \]

4. 误差分析
   • 精确值需通过数值方法或特殊函数表得：

\[ I_{\text{exact}} = \int_{-1}^{1} \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \pi e^{-1/2} I_0(1/2) \approx 2.019, \]

 其中 $ I_0 $ 是修正贝塞尔函数。  

• 绝对误差：

\[ |I_{\text{approx}} - I_{\text{exact}}| \approx |2.036 - 2.019| = 0.017. \]

• 由于 \(f(x) = e^{-x^2}\) 是光滑函数，且高斯-切比雪夫公式对 \(n=3\) 可精确积分次数 ≤5 的多项式，误差主要来自 \(f(x)\) 的高阶泰勒展开项。

5. 优化思路
   • 增加节点数 \(n\) 可提升精度，例如 \(n=5\) 时误差进一步缩小。
   • 若积分区间非 \([-1,1]\)，需通过变量变换适配公式。

总结
通过高斯-切比雪夫求积公式，将带权积分转化为节点函数值的加权和，利用正交多项式性质高效逼近积分值。本例中 \(n=3\) 已得到较高精度，体现了该公式在处理特定权函数积分时的优势。