谱聚类（Spectral Clustering）算法的原理与实现步骤
字数 1242 2025-10-31 18:33:05

谱聚类（Spectral Clustering）算法的原理与实现步骤

题目描述
谱聚类是一种基于图论的聚类算法，它将数据集视为图中的节点，利用数据的相似性矩阵进行谱分解（特征分解），再对特征向量进行传统聚类（如K-means）。与K-means等基于欧氏距离的算法不同，谱聚类擅长处理非凸分布、流形结构或存在复杂形状的数据集。本题要求详细讲解其原理、相似性矩阵构建、拉普拉斯矩阵计算、特征分解及最终聚类步骤。

解题过程

  1. 构建相似性图

    • 将每个数据点视为图中的一个节点，节点之间的边权重由相似性度量决定。
    • 常用相似性函数：
      • 高斯核函数：
        \(W_{ij} = \exp\left(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2}\right)\)
        其中 \(\sigma\) 控制邻域范围，\(W_{ij}\) 表示点 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的相似度。
      • 其他方法如k近邻图（仅保留每个点的k个最近邻的边）或ε-邻域图（仅保留距离小于ε的边）。

  2. 计算拉普拉斯矩阵

    • 定义度矩阵 \(D\)：
      \(D_{ii} = \sum_j W_{ij}\)，对角线元素为每个节点的连接权重之和，非对角元素为0。
    • 常用拉普拉斯矩阵形式：
      • 非规范化拉普拉斯矩阵：\(L = D - W\)
      • 规范化拉普拉斯矩阵（更常用）：
        • 对称版：\(L_{\text{sym}} = D^{-1/2} L D^{-1/2} = I - D^{-1/2} W D^{-1/2}\)
        • 随机游走版：\(L_{\text{rw}} = D^{-1} L = I - D^{-1} W\)

  3. 特征分解

    • 对规范化拉普拉斯矩阵 \(L_{\text{sym}}\) 进行特征分解，选取前 \(k\) 个最小特征值对应的特征向量（\(k\)为目标聚类数）。
    • 原因：拉普拉斯矩阵的特征向量能反映数据的低维流形结构，最小特征值对应的特征向量包含图的连通分量信息。

  4. 构建特征向量空间

    • 将选取的 \(k\) 个特征向量按列排列成矩阵 \(U \in \mathbb{R}^{n \times k}\)。
    • 对 \(U\) 的每一行进行规范化（例如归一化为单位范数），得到新特征矩阵 \(T\)：
      \(T_{ij} = U_{ij} / \left(\sum_{k} U_{ik}^2\right)^{1/2}\)

  5. 应用传统聚类算法

    • 将矩阵 \(T\) 的每一行视为一个 \(k\) 维空间中的点，使用K-means算法对这些点进行聚类。
    • 最终聚类结果即为原数据的聚类标签。

关键点说明

  • 谱聚类的本质是通过特征映射将数据转换到低维空间，使原本复杂的聚类边界变得线性可分。
  • 规范化拉普拉斯矩阵能消除节点度分布不均的影响，提升对噪声的鲁棒性。
  • 参数选择（如高斯核的 \(\sigma\)、近邻数 \(k\)）可通过启发式方法（如局部缩放策略）或网格搜索优化。
谱聚类（Spectral Clustering）算法的原理与实现步骤 题目描述 谱聚类是一种基于图论的聚类算法，它将数据集视为图中的节点，利用数据的相似性矩阵进行谱分解（特征分解），再对特征向量进行传统聚类（如K-means）。与K-means等基于欧氏距离的算法不同，谱聚类擅长处理非凸分布、流形结构或存在复杂形状的数据集。本题要求详细讲解其原理、相似性矩阵构建、拉普拉斯矩阵计算、特征分解及最终聚类步骤。 解题过程 构建相似性图 将每个数据点视为图中的一个节点，节点之间的边权重由相似性度量决定。 常用相似性函数： 高斯核函数 ： \( W_ {ij} = \exp\left(-\frac{\|x_ i - x_ j\|^2}{2\sigma^2}\right) \) 其中 \(\sigma\) 控制邻域范围，\(W_ {ij}\) 表示点 \(x_ i\) 和 \(x_ j\) 的相似度。 其他方法如k近邻图（仅保留每个点的k个最近邻的边）或ε-邻域图（仅保留距离小于ε的边）。 计算拉普拉斯矩阵 定义度矩阵 \(D\)： \( D_ {ii} = \sum_ j W_ {ij} \)，对角线元素为每个节点的连接权重之和，非对角元素为0。 常用拉普拉斯矩阵形式： 非规范化拉普拉斯矩阵 ：\( L = D - W \) 规范化拉普拉斯矩阵 （更常用）： 对称版：\( L_ {\text{sym}} = D^{-1/2} L D^{-1/2} = I - D^{-1/2} W D^{-1/2} \) 随机游走版：\( L_ {\text{rw}} = D^{-1} L = I - D^{-1} W \) 特征分解 对规范化拉普拉斯矩阵 \(L_ {\text{sym}}\) 进行特征分解，选取前 \(k\) 个最小特征值对应的特征向量（\(k\)为目标聚类数）。 原因：拉普拉斯矩阵的特征向量能反映数据的低维流形结构，最小特征值对应的特征向量包含图的连通分量信息。 构建特征向量空间 将选取的 \(k\) 个特征向量按列排列成矩阵 \(U \in \mathbb{R}^{n \times k}\)。 对 \(U\) 的每一行进行规范化（例如归一化为单位范数），得到新特征矩阵 \(T\)： \( T_ {ij} = U_ {ij} / \left(\sum_ {k} U_ {ik}^2\right)^{1/2} \) 应用传统聚类算法 将矩阵 \(T\) 的每一行视为一个 \(k\) 维空间中的点，使用K-means算法对这些点进行聚类。 最终聚类结果即为原数据的聚类标签。 关键点说明 谱聚类的本质是通过特征映射将数据转换到低维空间，使原本复杂的聚类边界变得线性可分。 规范化拉普拉斯矩阵能消除节点度分布不均的影响，提升对噪声的鲁棒性。 参数选择（如高斯核的 \(\sigma\)、近邻数 \(k\)）可通过启发式方法（如局部缩放策略）或网格搜索优化。