对称矩阵特征值计算的Rayleigh-Ritz方法 题目描述 Rayleigh-Ritz方法是一种用于计算对称矩阵特征值的数值算法，特别适用于求解大型稀疏对称矩阵的极端（最大或最小）特征值及其对应的特征向量。该方法基于Rayleigh商的极值性质，通过将原特征值问题投影到一个低维子空间上，转化为一个小规模的特征值问题。 解题过程 1. Rayleigh商的定义与性质 定义：对于n×n对称矩阵A，向量x≠0，Rayleigh商定义为R(x) = (xᵀAx)/(xᵀx) 关键性质： 若x是A的特征向量，则R(x)等于对应的特征值 对于任意x，有λ_ min ≤ R(x) ≤ λ_ max（其中λ_ min和λ_ max是A的最小和最大特征值） 在特征向量处，Rayleigh商达到极值 2. 子空间构造 选择一个k维子空间S（k < < n），通常通过Krylov子空间方法（如Lanczos迭代）生成 设S的基向量组成矩阵Q = [ q₁, q₂, ..., qₖ ]，满足QᵀQ = I（正交基） 3. 投影操作 将原问题A投影到子空间S上，得到k×k投影矩阵B = QᵀAQ 由于A对称，B也是对称矩阵 投影后的特征值问题：Bv = θv（θ为近似特征值，v为子空间中的特征向量） 4. 求解投影特征值问题 对小型对称矩阵B进行完全特征分解（如使用QR算法） 得到B的特征值{θ₁, θ₂, ..., θₖ}和特征向量{v₁, v₂, ..., vₖ} 按θ的大小排序，θ₁对应最小特征值，θₖ对应最大特征值 5. Ritz值计算 Ritz值（近似特征值）：直接取θ₁, θ₂, ..., θₖ Ritz向量（近似特征向量）：yᵢ = Qvᵢ（将子空间特征向量映射回原空间） 残量检验：计算‖Ayᵢ - θᵢyᵢ‖评估近似精度 6. 收敛性判断与子空间扩展 若残量小于容忍误差，接受当前Ritz对作为特征对 否则扩展子空间维度（增加基向量）或重启迭代过程 通过Rayleigh商迭代局部优化：以Ritz向量为初始值，进行一步Rayleigh商迭代可提高精度 算法特点 适用于大规模稀疏矩阵，只需矩阵向量乘积 收敛速度依赖于特征值分布（特征值间隔越大收敛越快） 可同时计算多个极端特征值 与Lanczos算法结合形成完整求解框架