基于线性规划的图最小费用流问题求解示例 我将为您讲解如何使用线性规划求解图的最小费用流问题。这是一个经典的网络优化问题，在物流、运输和资源分配中有广泛应用。 问题描述 假设我们有一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。每条边(i,j)∈E有一个容量u_ ij（表示最大流量）和一个单位流量的费用c_ ij。某些顶点有流量供应或需求：如果顶点i的供应量为b_ i>0，它是源点；如果b_ i<0，它是汇点；如果b_ i=0，它是中转点。我们的目标是在满足容量约束和流量平衡约束的前提下，找到总运输费用最小的流分配方案。 数学模型构建 设决策变量x_ ij表示边(i,j)上的流量。最小费用流问题可以建模为： 最小化：∑_ {(i,j)∈E} c_ ij × x_ ij 约束条件： 流量平衡：对于每个顶点i∈V，∑ {j:(i,j)∈E} x_ ij - ∑ {j:(j,i)∈E} x_ ji = b_ i 容量约束：对于每条边(i,j)∈E，0 ≤ x_ ij ≤ u_ ij 具体实例 考虑一个简单的运输网络： 顶点：1（供应量10），2（中转点），3（中转点），4（需求量10） 有向边：(1,2)：容量15，费用2；(1,3)：容量8，费用3；(2,3)：容量5，费用1；(2,4)：容量10，费用4；(3,4)：容量10，费用2 线性规划建模 目标函数：min 2x₁₂ + 3x₁₃ + x₂₃ + 4x₂₄ + 2x₃₄ 约束条件： 顶点1：x₁₂ + x₁₃ = 10 顶点2：x₁₂ - x₂₃ - x₂₄ = 0 顶点3：x₁₃ + x₂₃ - x₃₄ = 0 顶点4：x₂₄ + x₃₄ = 10 容量约束：0≤x₁₂≤15，0≤x₁₃≤8，0≤x₂₃≤5，0≤x₂₄≤10，0≤x₃₄≤10 求解过程 初始化单纯形表 将问题转化为标准型，引入松弛变量处理不等式约束。建立初始单纯形表，选择单位矩阵作为初始基。 迭代求解 第一次迭代：选择检验数最小的非基变量进基（x₁₂），根据最小比值规则确定出基变量 第二次迭代：更新单纯形表，继续选择检验数为负的非基变量进基（x₂₃） 第三次迭代：继续优化，选择x₃₄进基 最优解识别 当所有检验数非负时达到最优解。最优流分配为： x₁₂=5，x₁₃=5，x₂₃=5，x₂₄=0，x₃₄=10 最小总费用=2×5+3×5+1×5+4×0+2×10=50 解的验证 检查所有约束： 顶点1：5+5=10 ✓ 顶点2：5-5-0=0 ✓ 顶点3：5+5-10=0 ✓ 顶点4：0+10=10 ✓ 所有流量都在容量范围内 ✓ 问题特性分析 最小费用流问题的线性规划模型具有特殊结构： 约束矩阵是全单模的，如果容量和供需量为整数，最优解也是整数 对偶问题有直观的经济解释：顶点的对偶变量可以解释为节点的势或影子价格 存在专门的高效算法（如网络单纯形法），比通用单纯形法更快 这个示例展示了如何将实际问题转化为线性规划模型，并通过系统求解得到最优方案。