避免绝对误差控制在真值接近零时过度细分。

自适应高斯-克朗罗德积分法在振荡函数积分中的应用 题目描述 考虑振荡函数积分问题：计算定积分 \[ I = \int_ a^b f(x) \sin(\omega x) \, dx \] 其中被积函数 \(f(x)\) 在区间 \([ a,b ]\) 上光滑且变化缓慢，但高频振荡项 \(\sin(\omega x)\)（\(\omega \gg 1\)）导致积分值可能很小且传统数值积分方法效率低下。要求使用自适应高斯-克朗罗德积分法高效计算该积分，并分析其误差控制策略在振荡函数中的优势。 解题过程 问题难点分析 振荡函数积分需密集采样才能捕捉振荡细节，但均匀采样（如复合牛顿-科特斯公式）计算成本随 \(\omega\) 增大而急剧增加。 高斯求积公式在光滑函数上高效，但固定节点数的公式可能因振荡周期与节点分布不匹配而失效。 自适应高斯-克朗罗德积分法原理 核心思想 ：结合高斯求积的高精度和误差估计的自适应控制。在子区间上同时计算： \(G_ n\)：\(n\) 点高斯-勒让德求积结果（高精度基准）； \(K_ {2n+1}\)：\(2n+1\) 点克朗罗德扩展结果（包含高斯节点，用于误差估计）。 误差估计 ：\(E = |G_ n - K_ {2n+1}|\)。若 \(E\) 超过容忍误差 \(\epsilon\)，则拆分区间并递归计算。 振荡函数的自适应策略调整 振荡周期感知 ：子区间长度应小于振荡周期 \(T = 2\pi/\omega\)，避免单个子区间内振荡被平均化。 初始区间划分建议 ：将 \([ a,b ]\) 预分为长度为 \(\min\left(\frac{T}{2}, \frac{b-a}{10}\right)\) 的子区间，再对每个子区间应用自适应算法。 误差容忍度设置 ：因振荡函数积分值可能很小，需使用相对误差控制： \[ E \leq \epsilon_ {\text{rel}} \cdot |K_ {2n+1}| + \epsilon_ {\text{abs}} \] 避免绝对误差控制在真值接近零时过度细分。 计算步骤示例 设 \(f(x)=e^{-x}\), \(a=0\), \(b=10\), \(\omega=50\), 使用常见的 G7-K15 组合（7点高斯与15点克朗罗德）。 步骤1 ：预划分区间为 \([ 0, 0.06], [ 0.06, 0.12 ], \dots\)（周期 \(T \approx 0.126\)）。 步骤2 ：对首个区间 \([ 0, 0.06 ]\) 计算： \(G_ 7 \approx 0.05998\)，\(K_ {15} \approx 0.05997\)，误差 \(E \approx 10^{-5}\)。 若 \(\epsilon_ {\text{rel}}=10^{-6}\)，则 \(E < \epsilon_ {\text{rel}} \cdot |K_ {15}|\)，接受该结果。 步骤3 ：若某子区间误差超标（如振荡剧烈处），将其拆分为两个子区间重新计算，直到所有区间满足精度要求。 优势分析 自适应细化 ：仅在振荡导致误差大的区域增加节点，避免全局均匀采样。 高精度基准 ：高斯-克朗罗德组合的误差估计更可靠，尤其适用于振荡函数中可能出现的符号交替抵消问题。 稳定性 ：克朗罗德节点包含高斯节点，避免重复计算，且对舍入误差不敏感。 关键总结 自适应高斯-克朗罗德法通过局部误差控制和周期感知的区间划分，在振荡函数积分中平衡计算效率与精度，特别适用于高频振荡且振幅变化缓慢的积分问题。