并行与分布式系统中的并行图划分：Kernighan-Lin算法（并行化版本）
字数 2353 2025-10-31 18:33:05

并行与分布式系统中的并行图划分：Kernighan-Lin算法（并行化版本）

题目描述
在图计算任务中，大规模图（如社交网络、网页链接图）常需被划分为多个子图，以分配到不同处理器或机器上并行处理。划分需满足两个目标：(1) 子图规模均衡（负载均衡）；(2) 子图间边数最少（最小化通信开销）。Kernighan-Lin（KL）算法是一种经典的启发式图划分算法，通过迭代交换顶点对优化划分质量。其并行化版本旨在利用多处理器加速交换过程的评估与选择，解决大规模图划分的效率问题。假设图是无向加权图，初始划分为两个子图（可扩展为多路划分），目标是找到使割边权重和最小的划分。

解题过程

  1. 问题建模

    • 输入：无向图 \(G=(V,E)\)，顶点集 \(V\)，边集 \(E\)，边权重 \(w(e)\)，顶点权重 \(w(v)\)（可选）。
    • 初始划分：将 \(V\) 分为两个互斥子集 \(A\) 和 \(B\)，满足 \(|A| \approx |B|\)（或权重和均衡）。
    • 目标函数：最小化割边权重和，即 \(\min \sum_{u \in A, v \in B} w(u,v)\)。
    • 约束：划分后子图规模差不超过阈值（如 \(| |A| - |B| | \leq \epsilon\)）。

  2. 串行KL算法核心思想

    • 增益计算：定义顶点 \(v\) 从当前子集移动到另一子集的增益 \(g(v)\)。
      • 外部代价（external cost）： \(E(v) = \sum_{u \in \text{另一子集}} w(v,u)\)（与另一子集的所有边权重和）。
      • 内部代价（internal cost）： \(I(v) = \sum_{u \in \text{当前子集}} w(v,u)\)（与当前子集的所有边权重和）。
      • 增益： \(g(v) = E(v) - I(v)\)。若 \(g(v) > 0\)，移动 \(v\) 可能减少割边权重。
    • 顶点对交换：选择一对顶点 \((a,b)\)（\(a \in A, b \in B\)），交换后的净增益为 \(g(a) + g(b) - 2w(a,b)\)。
      • 原因：若 \(a\) 与 \(b\) 间有边，交换后该边从割边变为内部边，需减去 twice 其权重（因增益计算中重复计入）。
    • 迭代优化：
      • 每轮迭代中，计算所有可能交换对的增益，按增益降序排序。
      • 选择增益最大的可行交换（顶点未被锁定），执行交换并锁定顶点。
      • 重复直到所有顶点被锁定，记录此轮累积增益最大的前缀交换序列。
      • 回退到最大累积增益点，更新划分，进入下一轮迭代，直到增益不再提升。

  3. 并行化KL算法的挑战与策略

    • 挑战：串行KL中顶点交换需顺序进行（因增益依赖当前划分状态），直接并行化会导致数据竞争。
    • 关键思路：将增益计算和交换候选选择并行化，但通过分组或异步策略避免冲突。
      • 方法1：独立集交换（Parallel Independent Set Selection）。
        • 将图顶点分为多个独立集（independent sets），同一集内顶点无边连接，交换互不影响。
        • 并行处理每个独立集：计算顶点增益，选择局部最优交换对。
        • 优势：避免边冲突（因无连边顶点交换不影响彼此增益计算）。
      • 方法2：近似贪婪交换（Approximate Greedy Swapping）。
        • 将顶点随机分到多个组，每组内串行执行KL式交换，多组并行处理。
        • 通过松弛增益更新顺序（如异步更新）减少同步开销。

  4. 并行KL算法步骤详解（以独立集方法为例）
    步骤1：初始化

    • 主进程将图数据分发到所有处理器，每个处理器存储局部顶点及其邻接信息。
    • 生成初始划分（如随机划分、基于度数的划分），满足均衡约束。

    步骤2：并行增益计算

    • 所有处理器并行计算其局部顶点的增益 \(g(v)\)：
      • 每个处理器遍历本地顶点 \(v\)，统计 \(E(v)\) 和 \(I(v)\)（需查询顶点所在子集信息）。
      • 若图分布存储，需通过消息传递获取跨处理器边的权重（如发送查询请求）。

    步骤3：构建独立集

    • 使用并行图着色算法（如Luby's算法）将图顶点着色，同色顶点构成独立集。
    • 每个独立集分配给一个处理器组（如MPI进程组）处理。

    步骤4：并行交换候选选择

    • 对每个独立集，处理器组并行执行：
      • 对于集内每个顶点 \(v\)，找到另一子集中增益最高的配对顶点 \(u\)，使得交换净增益 \(g(v) + g(u) - 2w(v,u)\) 最大。
      • 记录局部最优交换对及其增益。
    • 注意：独立集内无连边顶点，因此配对选择可并行而无冲突。

    步骤5：同步与全局选择

    • 收集所有独立集的候选交换对，按增益降序全局排序。
    • 按顺序接受交换对（跳过与已交换顶点冲突的对），更新划分状态。
    • 所有处理器同步新划分（通过广播或全局通信）。

    步骤6：迭代与终止

    • 重复步骤2-5，直到一轮迭代中无正增益交换对（或达到迭代次数限制）。
    • 返回最优划分结果。

  5. 优化与扩展

    • 多路划分：将KL扩展为多路（如递归二分），或直接使用多路增益公式。
    • 负载均衡：在增益公式中加入权重约束项，惩罚导致不均衡的交换。
    • 异步并行：允许处理器局部更新增益而不全局同步，但需解决状态不一致问题（如使用滞后增益近似）。

总结
并行化KL算法通过将顶点分组为独立集，使增益计算和候选选择并行化，在保持优化质量的同时显著加速。核心在于化解串行依赖，通过图结构特性（如独立集）或近似策略实现并行效率。该算法是分布式图划分的基础工具，适用于大规模图处理系统（如分布式图计算框架）。

并行与分布式系统中的并行图划分：Kernighan-Lin算法（并行化版本） 题目描述 在图计算任务中，大规模图（如社交网络、网页链接图）常需被划分为多个子图，以分配到不同处理器或机器上并行处理。划分需满足两个目标：(1) 子图规模均衡（负载均衡）；(2) 子图间边数最少（最小化通信开销）。Kernighan-Lin（KL）算法是一种经典的启发式图划分算法，通过迭代交换顶点对优化划分质量。其并行化版本旨在利用多处理器加速交换过程的评估与选择，解决大规模图划分的效率问题。假设图是无向加权图，初始划分为两个子图（可扩展为多路划分），目标是找到使割边权重和最小的划分。 解题过程 问题建模 输入：无向图 \( G=(V,E) \)，顶点集 \( V \)，边集 \( E \)，边权重 \( w(e) \)，顶点权重 \( w(v) \)（可选）。 初始划分：将 \( V \) 分为两个互斥子集 \( A \) 和 \( B \)，满足 \( |A| \approx |B| \)（或权重和均衡）。 目标函数：最小化割边权重和，即 \( \min \sum_ {u \in A, v \in B} w(u,v) \)。 约束：划分后子图规模差不超过阈值（如 \( | |A| - |B| | \leq \epsilon \)）。 串行KL算法核心思想 增益计算 ：定义顶点 \( v \) 从当前子集移动到另一子集的增益 \( g(v) \)。 外部代价（external cost）： \( E(v) = \sum_ {u \in \text{另一子集}} w(v,u) \)（与另一子集的所有边权重和）。 内部代价（internal cost）： \( I(v) = \sum_ {u \in \text{当前子集}} w(v,u) \)（与当前子集的所有边权重和）。 增益： \( g(v) = E(v) - I(v) \)。若 \( g(v) > 0 \)，移动 \( v \) 可能减少割边权重。 顶点对交换 ：选择一对顶点 \( (a,b) \)（\( a \in A, b \in B \)），交换后的净增益为 \( g(a) + g(b) - 2w(a,b) \)。 原因：若 \( a \) 与 \( b \) 间有边，交换后该边从割边变为内部边，需减去 twice 其权重（因增益计算中重复计入）。 迭代优化 ： 每轮迭代中，计算所有可能交换对的增益，按增益降序排序。 选择增益最大的可行交换（顶点未被锁定），执行交换并锁定顶点。 重复直到所有顶点被锁定，记录此轮累积增益最大的前缀交换序列。 回退到最大累积增益点，更新划分，进入下一轮迭代，直到增益不再提升。 并行化KL算法的挑战与策略 挑战 ：串行KL中顶点交换需顺序进行（因增益依赖当前划分状态），直接并行化会导致数据竞争。 关键思路 ：将增益计算和交换候选选择并行化，但通过分组或异步策略避免冲突。 方法1： 独立集交换 （Parallel Independent Set Selection）。 将图顶点分为多个独立集（independent sets），同一集内顶点无边连接，交换互不影响。 并行处理每个独立集：计算顶点增益，选择局部最优交换对。 优势：避免边冲突（因无连边顶点交换不影响彼此增益计算）。 方法2： 近似贪婪交换 （Approximate Greedy Swapping）。 将顶点随机分到多个组，每组内串行执行KL式交换，多组并行处理。 通过松弛增益更新顺序（如异步更新）减少同步开销。 并行KL算法步骤详解 （以独立集方法为例） 步骤1：初始化 主进程将图数据分发到所有处理器，每个处理器存储局部顶点及其邻接信息。 生成初始划分（如随机划分、基于度数的划分），满足均衡约束。 步骤2：并行增益计算 所有处理器并行计算其局部顶点的增益 \( g(v) \)： 每个处理器遍历本地顶点 \( v \)，统计 \( E(v) \) 和 \( I(v) \)（需查询顶点所在子集信息）。 若图分布存储，需通过消息传递获取跨处理器边的权重（如发送查询请求）。 步骤3：构建独立集 使用并行图着色算法（如Luby's算法）将图顶点着色，同色顶点构成独立集。 每个独立集分配给一个处理器组（如MPI进程组）处理。 步骤4：并行交换候选选择 对每个独立集，处理器组并行执行： 对于集内每个顶点 \( v \)，找到另一子集中增益最高的配对顶点 \( u \)，使得交换净增益 \( g(v) + g(u) - 2w(v,u) \) 最大。 记录局部最优交换对及其增益。 注意：独立集内无连边顶点，因此配对选择可并行而无冲突。 步骤5：同步与全局选择 收集所有独立集的候选交换对，按增益降序全局排序。 按顺序接受交换对（跳过与已交换顶点冲突的对），更新划分状态。 所有处理器同步新划分（通过广播或全局通信）。 步骤6：迭代与终止 重复步骤2-5，直到一轮迭代中无正增益交换对（或达到迭代次数限制）。 返回最优划分结果。 优化与扩展 多路划分 ：将KL扩展为多路（如递归二分），或直接使用多路增益公式。 负载均衡 ：在增益公式中加入权重约束项，惩罚导致不均衡的交换。 异步并行 ：允许处理器局部更新增益而不全局同步，但需解决状态不一致问题（如使用滞后增益近似）。 总结 并行化KL算法通过将顶点分组为独立集，使增益计算和候选选择并行化，在保持优化质量的同时显著加速。核心在于化解串行依赖，通过图结构特性（如独立集）或近似策略实现并行效率。该算法是分布式图划分的基础工具，适用于大规模图处理系统（如分布式图计算框架）。