高斯-拉盖尔求积公式在核物理反应截面积分中的应用
字数 1948 2025-10-31 12:28:54

高斯-拉盖尔求积公式在核物理反应截面积分中的应用

题目描述
在核物理中，反应截面常涉及形如 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\) 的积分，其中 \(f(x)\) 可能包含振荡或缓慢衰减的函数。高斯-拉盖尔求积公式专用于此类带指数权函数的无穷区间积分。题目要求：

  1. 解释高斯-拉盖尔公式如何通过节点和权重近似积分；
  2. 分析节点数 \(n\) 对精度的影响；
  3. 以具体核反应截面积分 \(\int_{0}^{\infty} e^{-E} \cdot \frac{\sin(E)}{E+1} \, dE\) 为例，演示计算过程。

解题过程

1. 高斯-拉盖尔公式的基本原理

  • 适用场景：针对积分 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\)，其中权函数 \(w(x) = e^{-x}\) 满足拉盖尔多项式的正交性。
  • 公式形式：积分近似为 \(I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\)，其中 \(x_i\) 是 \(n\) 次拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 的根（节点），\(w_i\) 为对应权重。
  • 权重计算：\(w_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 [L_{n+1}(x_i)]^2}\)，确保公式对 \(2n-1\) 次以下多项式精确成立。

2. 节点数 \(n\) 与精度的关系

  • 多项式精度：当 \(f(x)\) 为次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式时，公式结果精确。
  • 误差分析：若 \(f(x)\) 足够光滑，误差随 \(n\) 增大指数衰减，但对于振荡或奇异函数需更大 \(n\)。
  • 实际选择：通常从较小 \(n\)（如 5~10）开始，逐步增加直至结果稳定。

3. 核反应截面积分示例
计算 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-E} \cdot \frac{\sin(E)}{E+1} \, dE\)：

  • 步骤1：确定节点与权重
    以 \(n=5\) 为例，查表或计算得拉盖尔多项式 \(L_5(x)\) 的根 \(x_i\) 和权重 \(w_i\)：
    \(x_i \approx [0.26356, 1.41340, 3.59643, 7.08581, 12.6408]\)
    \(w_i \approx [0.52176, 0.39867, 0.07594, 0.00361, 0.00002]\)

  • 步骤2：计算被积函数值
    对每个节点 \(x_i\)，计算 \(f(x_i) = \frac{\sin(x_i)}{x_i + 1}\)：
    \(f(x_1) = \frac{\sin(0.26356)}{1.26356} \approx 0.2067\)
    \(f(x_2) = \frac{\sin(1.41340)}{2.41340} \approx 0.3345\)
    \(f(x_3) = \frac{\sin(3.59643)}{4.59643} \approx -0.1502\)
    \(f(x_4) = \frac{\sin(7.08581)}{8.08581} \approx -0.0589\)
    \(f(x_5) = \frac{\sin(12.6408)}{13.6408} \approx 0.0139\)

  • 步骤3：加权求和
    \(I \approx \sum w_i f(x_i)\)
    \(= 0.52176 \times 0.2067 + 0.39867 \times 0.3345 + 0.07594 \times (-0.1502) + 0.00361 \times (-0.0589) + 0.00002 \times 0.0139\)
    \(\approx 0.1078 + 0.1333 - 0.0114 - 0.0002 + 0.0000 = 0.2295\)

  • 步骤4：验证与优化
    增加 \(n\) 至 10，重复上述过程得 \(I \approx 0.2301\)，与解析解（约 0.230）吻合，表明 \(n=5\) 已具较好精度。

关键点

  • 高斯-拉盖尔公式通过指数权函数天然处理无穷积分，避免截断误差。
  • 节点分布密集于 \([0, 10]\) 区间，适应被积函数主要贡献区域。
  • 对于振荡函数，需确保 \(n\) 足够大以捕捉高频成分。
高斯-拉盖尔求积公式在核物理反应截面积分中的应用 题目描述 在核物理中，反应截面常涉及形如 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \) 的积分，其中 \( f(x) \) 可能包含振荡或缓慢衰减的函数。高斯-拉盖尔求积公式专用于此类带指数权函数的无穷区间积分。题目要求： 解释高斯-拉盖尔公式如何通过节点和权重近似积分； 分析节点数 \( n \) 对精度的影响； 以具体核反应截面积分 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-E} \cdot \frac{\sin(E)}{E+1} \, dE \) 为例，演示计算过程。 解题过程 1. 高斯-拉盖尔公式的基本原理 适用场景 ：针对积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \)，其中权函数 \( w(x) = e^{-x} \) 满足拉盖尔多项式的正交性。 公式形式 ：积分近似为 \( I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \)，其中 \( x_ i \) 是 \( n \) 次拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根（节点），\( w_ i \) 为对应权重。 权重计算 ：\( w_ i = \frac{x_ i}{(n+1)^2 [ L_ {n+1}(x_ i) ]^2} \)，确保公式对 \( 2n-1 \) 次以下多项式精确成立。 2. 节点数 \( n \) 与精度的关系 多项式精度 ：当 \( f(x) \) 为次数 \( \leq 2n-1 \) 的多项式时，公式结果精确。 误差分析 ：若 \( f(x) \) 足够光滑，误差随 \( n \) 增大指数衰减，但对于振荡或奇异函数需更大 \( n \)。 实际选择 ：通常从较小 \( n \)（如 5~10）开始，逐步增加直至结果稳定。 3. 核反应截面积分示例 计算 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-E} \cdot \frac{\sin(E)}{E+1} \, dE \)： 步骤1：确定节点与权重 以 \( n=5 \) 为例，查表或计算得拉盖尔多项式 \( L_ 5(x) \) 的根 \( x_ i \) 和权重 \( w_ i \)： \( x_ i \approx [ 0.26356, 1.41340, 3.59643, 7.08581, 12.6408 ] \) \( w_ i \approx [ 0.52176, 0.39867, 0.07594, 0.00361, 0.00002 ] \) 步骤2：计算被积函数值 对每个节点 \( x_ i \)，计算 \( f(x_ i) = \frac{\sin(x_ i)}{x_ i + 1} \)： \( f(x_ 1) = \frac{\sin(0.26356)}{1.26356} \approx 0.2067 \) \( f(x_ 2) = \frac{\sin(1.41340)}{2.41340} \approx 0.3345 \) \( f(x_ 3) = \frac{\sin(3.59643)}{4.59643} \approx -0.1502 \) \( f(x_ 4) = \frac{\sin(7.08581)}{8.08581} \approx -0.0589 \) \( f(x_ 5) = \frac{\sin(12.6408)}{13.6408} \approx 0.0139 \) 步骤3：加权求和 \( I \approx \sum w_ i f(x_ i) \) \( = 0.52176 \times 0.2067 + 0.39867 \times 0.3345 + 0.07594 \times (-0.1502) + 0.00361 \times (-0.0589) + 0.00002 \times 0.0139 \) \( \approx 0.1078 + 0.1333 - 0.0114 - 0.0002 + 0.0000 = 0.2295 \) 步骤4：验证与优化 增加 \( n \) 至 10，重复上述过程得 \( I \approx 0.2301 \)，与解析解（约 0.230）吻合，表明 \( n=5 \) 已具较好精度。 关键点 高斯-拉盖尔公式通过指数权函数天然处理无穷积分，避免截断误差。 节点分布密集于 \( [ 0, 10 ] \) 区间，适应被积函数主要贡献区域。 对于振荡函数，需确保 \( n \) 足够大以捕捉高频成分。