基于格的数字签名算法：BLISS（Bimodal Lattice Signature Scheme） 题目描述 BLISS（Bimodal Lattice Signature Scheme）是一种基于格困难问题的后量子数字签名算法，其安全性依赖于环上最短向量问题（Ring-SVP）的难度。与传统签名算法（如RSA或ECDSA）不同，BLISS能抵抗量子计算机攻击，同时通过优化设计（如拒绝采样和稀疏向量）实现高效的签名生成。题目要求：解释BLISS的密钥生成、签名和验证过程，重点分析其如何利用格基陷门和概率技巧保障安全性。 解题过程 BLISS的核心思想是：通过格基陷门生成一对公私钥，签名时使用私钥构造一个满足特定关系的短向量，验证时通过公钥检查该向量是否满足格上的线性约束。下面逐步分解其流程。 1. 密钥生成 步骤1：参数设置 选择环 \( R = \mathbb{Z}[ x ]/(x^n+1) \)，其中 \( n \) 是2的幂（如512）。固定整数 \( q \)（模数）和 \( \kappa \)（安全参数）。私钥是环上的短多项式向量。 步骤2：生成陷门格基 私钥 \( sk = (s_ 1, s_ 2) \)，其中 \( s_ 1, s_ 2 \in R \) 的系数服从离散高斯分布，且满足 \( s_ 1 + s_ 2 \cdot a \approx 0 \mod q \)（\( a \) 是公钥的一部分）。公钥 \( pk = (a, t) \)，其中 \( a \) 是随机环元素，\( t = a \cdot s_ 1 + s_ 2 \mod q \)。 关键点 ：私钥 \( (s_ 1, s_ 2) \) 构成格 \( \Lambda = \{ (x,y) \in R^2 \mid a \cdot x + y \equiv 0 \mod q \} \) 的一组短基，用于后续签名。 2. 签名过程（含拒绝采样） 假设待签名消息为 \( m \)，哈希函数输出 \( c = H(m) \in R \)。 步骤1：生成候选签名 随机采样 \( y_ 1, y_ 2 \in R \)，其系数服从离散高斯分布。 计算 \( u = a \cdot y_ 1 + y_ 2 \mod q \)，然后计算 \( c = H(\lfloor u \rceil_ d, m) \)，其中 \( \lfloor u \rceil_ d \) 表示对 \( u \) 的系数进行精度 \( d \) 的取整（为了压缩签名大小）。 步骤2：构造签名向量 计算 \( z_ 1 = y_ 1 + (-1)^b \cdot s_ 1 \cdot c \)，\( z_ 2 = y_ 2 + (-1)^b \cdot s_ 2 \cdot c \)，其中 \( b \) 是随机比特（用于双模化减少签名长度）。 步骤3：拒绝采样 以概率 \( \min\left(1, \frac{\exp(-\|z\|^2/2\sigma^2)}{\exp(-\|\mathbf{y}\|^2/2\sigma^2)}\right) \) 接受签名 \( (z_ 1, z_ 2, c) \)，否则重试。这一步确保签名分布独立于私钥，防止信息泄露。 步骤4：稀疏化优化 BLISS通过选择稀疏的私钥（\( s_ 1, s_ 2 \) 的系数多为0）进一步压缩签名大小。 3. 验证过程 验证者收到 \( (z_ 1, z_ 2, c) \) 后： 步骤1：重构承诺 计算 \( u' = a \cdot z_ 1 + z_ 2 \mod q \)，然后计算 \( c' = H(\lfloor u' \rceil_ d, m) \)。 步骤2：检查短向量条件 验证 \( \| (z_ 1, z_ 2) \| \) 是否小于预设阈值（确保是短向量）。 步骤3：比较哈希值 若 \( c' = c \) 且短向量条件满足，则签名有效。 安全性原理 ：攻击者无法在不知陷门的情况下构造满足 \( a \cdot z_ 1 + z_ 2 \equiv u \mod q \) 的短向量 \( (z_ 1, z_ 2) \)。 4. 关键技术与安全性分析 拒绝采样 ：避免签名向量泄露私钥的分布信息。 双模化（Bimodal） ：随机选择 \( b \in \{0,1\} \) 增加签名空间，降低被攻击概率。 格困难问题 ：伪造签名需解决Ring-SVP，目前无已知量子算法能高效破解。 通过以上步骤，BLISS在保障后量子安全的同时，实现了比传统格签名更短的签名长度和更高的效率。