龙贝格积分法的误差分析与加速收敛技术
字数 1577 2025-10-31 12:28:54

龙贝格积分法的误差分析与加速收敛技术

题目描述
计算定积分 \(I = \int_a^b f(x)dx\)，其中 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上充分光滑。要求使用龙贝格积分法，分析其误差来源，并解释其如何通过外推技术加速收敛。

解题过程

  1. 基础方法：复合梯形公式
    • 将区间 \([a,b]\) 等分为 \(n=2^k\) 个子区间，步长 \(h_k = \frac{b-a}{2^k}\)。
    • 复合梯形公式近似积分为：

\[ T_0^{(k)} = h_k \left[ \frac{f(a)}{2} + \sum_{i=1}^{2^k-1} f(a+ih_k) + \frac{f(b)}{2} \right] \]

  • 误差为 \(E = I - T_0^{(k)} = c_1 h_k^2 + c_2 h_k^4 + \cdots\)，其中 \(c_i\) 为与 \(f\) 高阶导数相关的常数。
  1. 龙贝格积分的递推构造
    • 利用不同步长的梯形公式结果进行外推，消除低阶误差项。
    • 定义递推序列：

\[ T_m^{(k)} = \frac{4^m T_{m-1}^{(k+1)} - T_{m-1}^{(k)}}{4^m - 1}, \quad m=1,2,\dots; \ k=0,1,\dots \]

  • 初始值 \(T_0^{(k)}\) 对应步长 \(h_k\) 的梯形公式结果。
  • 例如：
    • \(T_1^{(k)}\) 通过组合 \(T_0^{(k)}\) 和 \(T_0^{(k+1)}\) 消除 \(h^2\) 误差项，精度为 \(O(h^4)\)。
    • \(T_2^{(k)}\) 进一步消除 \(h^4\) 项，精度为 \(O(h^6)\)。

  1. 误差分析

    • 误差来源：
      • 截断误差：由泰勒展开的高阶项引起，外推可逐步消除。
      • 舍入误差：多次递推可能放大计算误差，尤其在高阶外推时需注意。
    • 收敛性：若 \(f(x)\) 无限次可微，龙贝格序列 \(T_m^{(k)}\) 随 \(m\) 增加快速收敛到真值 \(I\)。

  2. 加速收敛技术

    • 理查森外推原理：利用误差展开式 \(I = T_0^{(k)} + c_1 h_k^2 + c_2 h_k^4 + \cdots\)，通过线性组合不同步长的结果消去低阶误差项。
    • 递推效率：每次外推将误差阶数提高两阶，仅需少量计算即可达到高精度，避免直接使用极细网格的高成本。

  3. 实例演示

    • 以 \(I = \int_0^1 e^x dx\) 为例：
      • 计算 \(T_0^{(0)}\)（单区间梯形公式）：\(T_0^{(0)} = \frac{e^0 + e^1}{2} \approx 1.8591409\)。
      • 计算 \(T_0^{(1)}\)（两区间梯形公式）：\(T_0^{(1)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{f(0)+f(1)}{2} + f(0.5) \right] \approx 1.7539311\)。
      • 外推得 \(T_1^{(0)} = \frac{4T_0^{(1)}-T_0^{(0)}}{3} \approx 1.7188612\)（误差从 \(O(h^2)\) 提升至 \(O(h^4)\)）。
      • 继续递推可进一步接近精确值 \(e-1 \approx 1.7182818\)。

  4. 终止条件

    • 设定容忍误差 \(\epsilon\)，当 \(|T_m^{(k)} - T_{m-1}^{(k)}| < \epsilon\) 时停止，此时结果满足精度要求。

总结：龙贝格积分法通过递推外推高效提升精度，特别适用于光滑函数，是数值积分中平衡效率与精度的经典算法。

龙贝格积分法的误差分析与加速收敛技术 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ a^b f(x)dx \)，其中 \( f(x) \) 在区间 \([ a,b ]\) 上充分光滑。要求使用龙贝格积分法，分析其误差来源，并解释其如何通过外推技术加速收敛。 解题过程 基础方法：复合梯形公式 将区间 \([ a,b]\) 等分为 \(n=2^k\) 个子区间，步长 \(h_ k = \frac{b-a}{2^k}\)。 复合梯形公式近似积分为： \[ T_ 0^{(k)} = h_ k \left[ \frac{f(a)}{2} + \sum_ {i=1}^{2^k-1} f(a+ih_ k) + \frac{f(b)}{2} \right ] \] 误差为 \( E = I - T_ 0^{(k)} = c_ 1 h_ k^2 + c_ 2 h_ k^4 + \cdots \)，其中 \(c_ i\) 为与 \(f\) 高阶导数相关的常数。 龙贝格积分的递推构造 利用不同步长的梯形公式结果进行外推，消除低阶误差项。 定义递推序列： \[ T_ m^{(k)} = \frac{4^m T_ {m-1}^{(k+1)} - T_ {m-1}^{(k)}}{4^m - 1}, \quad m=1,2,\dots; \ k=0,1,\dots \] 初始值 \(T_ 0^{(k)}\) 对应步长 \(h_ k\) 的梯形公式结果。 例如： \(T_ 1^{(k)}\) 通过组合 \(T_ 0^{(k)}\) 和 \(T_ 0^{(k+1)}\) 消除 \(h^2\) 误差项，精度为 \(O(h^4)\)。 \(T_ 2^{(k)}\) 进一步消除 \(h^4\) 项，精度为 \(O(h^6)\)。 误差分析 误差来源 ： 截断误差：由泰勒展开的高阶项引起，外推可逐步消除。 舍入误差：多次递推可能放大计算误差，尤其在高阶外推时需注意。 收敛性 ：若 \(f(x)\) 无限次可微，龙贝格序列 \(T_ m^{(k)}\) 随 \(m\) 增加快速收敛到真值 \(I\)。 加速收敛技术 理查森外推原理 ：利用误差展开式 \(I = T_ 0^{(k)} + c_ 1 h_ k^2 + c_ 2 h_ k^4 + \cdots\)，通过线性组合不同步长的结果消去低阶误差项。 递推效率 ：每次外推将误差阶数提高两阶，仅需少量计算即可达到高精度，避免直接使用极细网格的高成本。 实例演示 以 \(I = \int_ 0^1 e^x dx\) 为例： 计算 \(T_ 0^{(0)}\)（单区间梯形公式）：\(T_ 0^{(0)} = \frac{e^0 + e^1}{2} \approx 1.8591409\)。 计算 \(T_ 0^{(1)}\)（两区间梯形公式）：\(T_ 0^{(1)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{f(0)+f(1)}{2} + f(0.5) \right ] \approx 1.7539311\)。 外推得 \(T_ 1^{(0)} = \frac{4T_ 0^{(1)}-T_ 0^{(0)}}{3} \approx 1.7188612\)（误差从 \(O(h^2)\) 提升至 \(O(h^4)\)）。 继续递推可进一步接近精确值 \(e-1 \approx 1.7182818\)。 终止条件 设定容忍误差 \(\epsilon\)，当 \(|T_ m^{(k)} - T_ {m-1}^{(k)}| < \epsilon\) 时停止，此时结果满足精度要求。 总结 ：龙贝格积分法通过递推外推高效提升精度，特别适用于光滑函数，是数值积分中平衡效率与精度的经典算法。