最长公共子序列的变种：带限制的最长公共子序列（限制子序列必须包含某个特定子串）

题目描述

给定两个字符串s1和s2，以及一个特定子串t。要求找出s1和s2的最长公共子序列（LCS），但这个公共子序列必须包含子串t作为其连续部分。如果不存在这样的公共子序列，则返回0。

例如：
s1 = "abcde", s2 = "ace", t = "c"
最长公共子序列是 "ace"，它包含 "c"，所以答案是3。

s1 = "abcde", s2 = "axcye", t = "cd"
最长公共子序列是 "ace"，但它不包含 "cd"。包含 "cd" 的公共子序列不存在，所以答案是0。

解题过程

这个问题的关键在于在寻找最长公共子序列的同时，确保特定子串t被包含在内。我们可以将问题分解为几个部分，并利用动态规划来跟踪状态。

步骤1：定义状态

我们需要一个三维动态规划数组dp[i][j][k]，其中：

• i: 表示考虑s1的前i个字符
• j: 表示考虑s2的前j个字符
• k: 表示在匹配t的前k个字符方面的进度（0 ≤ k ≤ len(t)）

k的含义：

• k = 0: 还没有开始匹配t中的任何字符
• 1 ≤ k ≤ len(t): 已经成功匹配了t的前k个字符
• 特别地，当k = len(t)时，表示已经完整包含了子串t

步骤2：状态转移方程

对于每个位置(i, j, k)，我们需要考虑三种情况：

1. 不选择s1[i]和s2[j]：
   dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k])

2. 当s1[i] = s2[j]时：

   • 如果k = 0（还没有开始匹配t）：
     如果s1[i] = t[0]，我们可以开始匹配t：dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i-1][j-1][0] + 1)
     否则，正常匹配：dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i-1][j-1][0] + 1)

   • 如果1 ≤ k < len(t)（正在匹配t中）：
     如果s1[i] = t[k]，继续匹配t：dp[i][j][k+1] = max(dp[i][j][k+1], dp[i-1][j-1][k] + 1)
     否则，匹配失败，回到k=0：dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i-1][j-1][k] + 1)

   • 如果k = len(t)（已经完整匹配t）：
     正常匹配：dp[i][j][len(t)] = max(dp[i][j][len(t)], dp[i-1][j-1][len(t)] + 1)

3. 不匹配当前字符的情况：
   dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k])

步骤3：初始化

• dp[0][j][0] = 0（空s1与任何s2的LCS长度为0）
• dp[i][0][0] = 0（空s2与任何s1的LCS长度为0）
• 对于k > 0，dp[0][j][k]和dp[i][0][k]都初始化为负无穷（表示不可能状态）

步骤4：最终答案

最终答案是dp[len(s1)][len(s2)][len(t)]，即完整包含子串t的最长公共子序列长度。如果这个值小于0，说明不存在这样的子序列，返回0。

步骤5：算法实现

def constrained_lcs(s1, s2, t):
    m, n, p = len(s1), len(s2), len(t)
    
    # 创建三维DP数组，初始化为负无穷
    dp = [[[-10**9] * (p + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
    
    # 初始化：空字符串的情况
    for i in range(m + 1):
        for j in range(n + 1):
            dp[i][j][0] = 0
    
    # 填充DP表
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            for k in range(p + 1):
                # 情况1：不选择当前字符
                dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k])
                
                # 情况2：选择当前字符（只有当s1[i-1] == s2[j-1]时）
                if s1[i-1] == s2[j-1]:
                    if k == 0:
                        # 还没有开始匹配t
                        if p > 0 and s1[i-1] == t[0]:
                            # 开始匹配t
                            dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i-1][j-1][0] + 1)
                        else:
                            # 正常匹配
                            dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i-1][j-1][0] + 1)
                    elif k < p:
                        # 正在匹配t中
                        if s1[i-1] == t[k]:
                            # 继续匹配t
                            dp[i][j][k+1] = max(dp[i][j][k+1], dp[i-1][j-1][k] + 1)
                        else:
                            # 匹配失败，回到k=0
                            dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i-1][j-1][k] + 1)
                    else:  # k == p
                        # 已经完整匹配t，正常匹配
                        dp[i][j][p] = max(dp[i][j][p], dp[i-1][j-1][p] + 1)
    
    result = dp[m][n][p]
    return result if result > 0 else 0

复杂度分析

• 时间复杂度：O(m × n × p)，其中m、n、p分别是s1、s2、t的长度
• 空间复杂度：O(m × n × p)，可以使用滚动数组优化到O(n × p)

这个算法通过在传统LCS的基础上增加一个维度来跟踪特定子串t的匹配进度，确保了最终找到的公共子序列一定包含t作为连续子串。